окръжност на Fuhrmann

В задачата окръжност на Fuhrmann (Fuhrmann Circle) се разглежда остроъгълен триъгълник и отраженията на отсечка от симетрала в частта средна точка на страна : описана окръжност около референтния триъгълник. Симетричната точка спрямо съответната страна на референтния триъгълник образува връх от триъгълника на Fuhrmann. Радиусът на неговата описана  окръжност може да бъде изчислен по няколко начина:

като сума от произведения между отделните страни;

като разстояние между центровете на вписаната и описаната около референтния триъгълник окръжности;

като половината от разстоянието NH с крайни точки: ортоцентър и точка на Нагел.

Последното твърдение поражда и допълнително - окръжност на Fuhrmann може да се разглежда като инцидентна с 5 точки.

Алгоритъмът за построителната задача окръжност на Fuhrmann използва подалгоритъм триъгълник на Fuhrmann и съдържа следните стъпки:

посочват се координатите на три не колинеарни точки A, B, C и се построява реферфентния триъгълник;

построява се неговата описана окръжност с център т.О пресечна точка на симетралите - алгоритъмът е представен в намиране елементи на триъгълник;

в цикъл се построява средна точка на всяка страна - на чертежа точки Ma, Mb, Mc;

в цикъл се построяват три радиуса (OSa, OSb, OSc) през средата на всяка от страните (от свойство на симетрала) - началната точка на всеки радиус е центърът на описаната окръжност, ъгълът на наклон се изчислява от ъгъла на съответните отсечки (OMa, OMb, OMc) център на описаната окръжност-пета на съответната медиана;

в цикъл се изчисляват координатите на точки Ta, Tb, Tc (върхове на триъгълник на Fuhrmann) като точки инцидентни със съответния радиус и заемащи огледална позиция на края на същия радиус спрямо съответната страна на референтния триъгълник;

през трите точки се построява търсената окръжност на Fuhrmann.

С цел извеждане на нагледно доказателство за твърдението диаметърът за окръжност на окръжност на Fuhrmann е равен на разстоянието с крайни точки: точка на Нагел и ортоцентър се ползва следния алгоритъм:

в цикъл последователно се построява височина към съответната страна (на чертежа не са отразени) и се изчисляват координати за тяхната пресечна точка ортоцентър - на чертежа т.Н;

подалгоритъм за изчисляване координати за точка на Нагел: в цикъл последователно се построява съответната външно вписана окръжност;

последователно се изчисляват координати за допирна точка между съответната двойка страна на триъгълник : външно вписана окръжност - точки Na, Nb, Nc;

изчисляват се координати за точка на Нагел - обща пресечна точка на отсечките ANa, BNb, CNc;

изчислява се дължина на отсечката NH и координатите на нейната среда;

получаването на конгруентни стойности за  дължина на диаметър и координати за център е и търсеното доказателство на твърдението.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Прочетете допълнителен материал за: симетрала, окръжност на van Lamoen, триъгълник със среда на дъга, триъгълник на Fuhrmann, център на Fuhrmann, точка на Нагел.