доказателство на Bhaskara

В задачата доказателство на Bhaskara се разглеждат 4 еднакви правоъгълни триъгълника чиито хипотенузи са страни на квадрат. Върхът на правия ъгъл е и връх на квадрат с дължина на страна разликата в дължина на двата катета. Извежда се доказателство за основното уравнение от питагорова теорема чрез лица на триъгълници.

Последователността на стъпките в алгоритъма реализиращ построителната задача доказателство на Bhaskara са представени чрез азбучния ред на означените върхове/пресечни точки.

Лицето на квадрата ABDE се разглежда като сума от лица на 4 еднакви правоъгълни триъгълника и лице на квадрата HCFG. Приложено е доказателство с бином:

1) лице на квадрат ABDE: Sabde = AB²;

2) лице на квадрат ABDE: 4*Sabc/2 + Shcfg = 4*AC*BC/2 + (AC - BC)² = 2*AC*BC + AC² -2*AC*BC+ BC² = AC² + BC²;

от двете равенства:

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство.

вариант на Bhaskara

В задачата вариант на Bhaskara се разглежда разностранен правоъгълен триъгълник ABC, вписан в квадрат ABEF, допълнителни три правоъгълни триъгълника BED ≅ AFG ≅ EFJ ≅ ABC, построена е отсечка DG инцидентна с върха на правия ъгъл за всеки от построените триъгълници. Извежда се доказателство, за основното уравнение от питагорова теорема, основано на равенство между сума от площи.

С цел по-добро илюстриране на извежданите уравнения са построени отсечки CI, KJ, които образуват два нови правоъгълни триъгълника еднакви с референтния. В хода на построението се приема AC < BC.

Последователността на стъпките в алгоритъма реализиращ построителната задача вариант на Bhaskara са представени чрез азбучния ред на означените върхове/пресечни точки.

по посочени три не колинерани точки A, B, C се построява референтния разностранен правоъгълен триъгълник;

последователно се построяват еднакви на референтния правоъгълни триъгълници BED ≅ BEK ≅ AFG ≅  AIK чиито хипотенузи са перпендикулярни на AB;

постоява се правоъгълния триъгълник EFJ ≅ ABC с хипотенуза успоредна на AB;

върховете на построените триъгълници са едновременно и върхове на два квадрата съответно с площ:

Sckji = (BC - AC)² лице на вписания квадрат от задачата доказателство на Bhaskara;

Sabef = AB² - лице на описания квадрат;

(1) Sabdefg = Sabef + 2Sabc =  AB² +AC*BC; 

отсечката DG е инцидентна с центъра на двата квадрата и разделя многоъгълника ABDEFG на два еднакви четириъгълника, всеки от които е съставен от два равнобедрени правоъгълни триъгълника и правоъгълен триъгълник еднакъв с референтния.

Sabdefg = 2*(Scga + Sabc + Scdb);

(2) Sabdefg = 2*( AC²/2 + AC*BC/2 + BC²/2) =  AC² + AC*BC + BC²; 

от уравнения (1) и (2):

AB² +AC*BC =  AC² + AC*BC + BC²;

AB² =  AC² + BC² - търсеното доказателство.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Rufas, доказателство с бином, доказателство на Multauli.