равни суми на площи

В задачата равни суми на площи се разглежда произволен триъгълник ABC, вписана окръжност с център т.O,  в т. Т e построена допирателна DE и перпендикуляри към нея  (AD || BE || CG || OT) ⊥ DE. Извежда се нагледно доказателство за равенството:

Sabc = AC*AD + BC*BE - AB*CF

Алгоритъмът на построителната задача равни суми на площи съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

изчисляват се координати за център т.О, дължина на радиус и се построява вписаната окръжност;

по посочени координати на т.G, вътрешна за вписаната окръжност се построява отсечка CG;

изчислява се ъгъл на наклон за отсечката CG;

построява се радиус OT|| CG;

през т.Т се построява допирателна към окръжността DE  ⊥ OT;

последователно от върховете A, B се построяват отсечки успоредни на OT || CG и се изчисляват координати на пресечните точки (D = AD x DE, E = BE x DE) между допирателната и перпендикулярните към нея отсечки AD ⊥ DE, BE ⊥ AD;

от предходните стъпки на приложения алгоритъм 4-ъгълникът ADEB е правоъгълен трапец (AD || BE);

изчисляват се координата за пресечната точка т. F = CG x DE;

последователно се изчисляват дължина на страните на референтния триъгълник AB = c, BC = a, AC = c, както и на отсечките BE = a', AD = b', CF = c';

чрез предпочитан алгоритъм (ориентирано лице - координати на върховете, формула на Херон - дължина на страните) се изчислява Sabc лице на референтния триъгълник;

изчислява се St - сума от произведения St = (AC*AD + BC*BE - AB*CF)/2;

извършва се сравняване на двете стойности - Sabc  ≈ St основен извод в задачата равни суми на площи.

При извеждане на алгебричното доказателство се ползва формула за лице на триъгълник чрез полупериметър и радиус на вписаната в него окръжност, подобни триъгълници и свойство на ъглополовяща. Задачата е позната и като теорема на Harcourt.

Подходът за доказателство чрез извеждане равни суми на площи се прилага в ред задачи като:

в теорема на Anne (Anne's theorem) - разглежда се равенство между области от изпъкнал четириъгълни, в който няма двойка успоредни страни;

в задачите свързани с питагоровата теорема като:  доказателство на Rufas, доказателство на Nelsen, доказателство на Евклид и др.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: вписана окръжност, лице на триъгълник, перпендикуляр от точка към права, степен на точка.