доказателство с транспозиция

В задачата доказателство с транспозиция се разглежда правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза AB и построени квадрати с дължина на страна съответната страна на референтния триъгълник. Приложена е транспозиция на 2 квадрата за извеждане нагледно доказателство за питагоровата теорема. Конфигурацията е удобна за изграждане на анимирано изображение.

Алгоритъмът на построителната задача доказателство с транспозиция съдържа следните стъпки:

по посочени три точки с последващо преизчисляване координатите на последната посочена точка се построява разностранен правоъгълен триъгълник;

изчисляват се координати за върхове на квадрати външно към всяка от страните - конструкция вятърна мелница;

предходните стъпки образуват форма на началния изглед от анимираното изображение;

осъществява се транспозиция на квадрата със страна AC - новия квадрат е симетричен на квадрата ACDE с ос на симетрия AC;

осъществява се транспозиция на квадрата със страна BC, така че страната DF е инцидента със страната BC на референтния триъгълник - страна на преместения квадрат DFGI пресича хипотенузата AB;

допълнително се построяват 5 правоъгълни триъгълника ABL ≅ BGF ≅ BGK ≅ GIJ ≅ AIE еднакви с референтния ABC, пресечните точки на страните им образува квадрат ELKJ с дължина на страна разликата между двата катета, а хипотенузите им квадрат ABGI - тази стъпка дава връзка с доказателство на Bhaskara;

построения квадрат ABGI отсича от квадрат DFGI правоъгълен триъгълник BGF еднакъв с референтния триъгълник.

Sacde = AC²;

Sdfgi = GF² = BC²;

Sabgi = AB² = 4*Sabc + Selkj;

AB² = 4*AC*BC/2 + (BC - AC)²;

AB² = 2*AC*BC + BC² - 2*AC*BC + AC²;

AB² = AC² +  BC² - търсеното доказателство.

Алгоритъмът на построителната задача реализиращ втори вариант съдържа следните стъпки:

От начална позиция вятърна мелница са построени:

квадрат ABJG външно към хипотенузата;

квадратът със страна BC се обръща огледално по оста BC;

квадратът със страна AC се обръща огледално по оста AC се отмества по положителната посока на абсцисната ос на разстояние AC;

допълнително се построяват 3 правоъгълни триъгълника AGF ≅ GJK ≅ BJE еднакви с референтния ABC;

DK ⊥ LM, DK = LM = BC - AC;

IL ⊥ DF, IL = DF = AC;

IG ⊥ GF, IG = GF = AC;

AKD ≅ JML, IGML ≅ DFGK  с взаимно перпендикулярни и равни съответни страни;

Sdfgi = AC² = Sdfgk + Skgi;

Scdeb = BC² = Sabc + Sakd + Sakeb;

Sagjb = AB² = Sbje + Sjml + Sigml + Skgi + Sakeb;

AB² = (Sigml + Skgi) + (Sbje + Sjml + Sakeb);

AB² = (Sdfjk + Skgi) + (Sabc + Sakd + Sakeb);

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство с успоредник, доказателство на Molokach, доказателство с равнобедрен трапец, доказателство на Yanney, доказателство на Foster.