архимедови окръжности братовчеди

Задачата архимедови окръжности братовчеди разглежда арбелос и две допълнителни окръжности с равен радиус, които едновременно се допират до двете малки дъги от референтния арбелос и всяка от тях се допира до външната допирателна към една от малките дъги. Центърът и на двете окръжности лежи на основната ос.

Основни разлики с архимедови окръжности близнаци:

архимедови окръжности братовчеди винаги имат една обща допирна точка с основния перпендикуляр, близнаците имат обща допирна точка само в частния случай при равни радиуси на малките дъги в референтния арбелос;

наклонът на отсечката свързваща центъра на двойката окръжности братовчеди е идентичен с наклона на  отсечката свързваща центъра на двойката окръжности (и двете отсечки принадлежат на основната ос в арбелоса), наклонът на отсечката свързваща центъра на двойката окръжности близнаци е праяко свързан с разликата между радиусите на двете малки дъги от референтния арбелос.

При изчисляване дължина на радиуса за всяка от окръжностите братовчеди и доказване равенството на тези радиуси са възможни различни подходи:

1) чрез разглеждане на две двойки подобни правоъгълни триъгълници: а) крайна точка на голямата дъга, общата допирна точка на малките дъги, пресечната точка между външната допирателна към малка дъга на арбелоса и перпендикуляра от общата допирна точка и б) крайна точка на голямата дъга,  центъра на търсената окръжност и допирната точка между неин радиус и допирателната към другата дъга на арбелоса. Двата правоъгълни триъгълника са определени по дължина на катет (диаметър на дъга) и остър ъгъл - между оста на арбелоса и външната допирателна. Търсеният радиус е неизвестното в отношенията между съответните страни.

2) и двата правоъгълни триъгълника с върхове:  крайна точка на голямата дъга, общата допирна точка на малките дъги, пресечната точка между външната допирателна към малка дъга на арбелоса и перпендикуляра от общата допирна точка са напълно определени. Ако всеки от тях се разглежда като 1/2 от равнобедрен триъгълник с бедро част от допирателната, то радиусът на търсената окръжност е точно радиусът на вписаната окръжност в равнобедрения триъгълник.

3) ползване на решение на задачата архимедови окръжности близнаци: R = Ra*Rb/(Ra+Rb), където Ra, Rb са радиусите на малките дъги от рекурентния арбелос.

Алгоритъмът на построителната задача архимедови окръжности братовчеди съдържа следните стъпки:

посочват се 3 не колинеарни точки A, B, C образуващи върхове на остроъгълен триъгълник;

извършват се корекции на координати за т.B, така че отсечката AB да бъде успоредна на абсцисната ос;

изчисляват се координати за т.D - проекция на т.С върху отсечката AB;

изчисляват се координати за център и радиуси на дъгите в референтнтния арбелос:

лява дъга: радиус Ra = AD/2 и център т.Е (AE = DE);

дясна дъга: радиус Rb = BD/2 и център т.F (DF = BF);

основна дъга: радиус R = AB/2 = (Ra+Rb)/2 и център т.O (AO = BO);

изчислява се дължина на радиус за архимедова окръжност: Rh = Ra*Rb/(Ra + Rb);

построява се основната ос AB в арбелоса и диаметър на основната дъга;

последователно се построяват основната и двете малки дъги;

чрез теорема на Питагор се преизчисляват координатите на т.С, така че да бъде инцидентна с голямата дъга на арбелоса;

построява се перпендикулярът CD (CD ⊥ AB), петата на перпендикуляра е и допирна точка на малките дъги;

последователно с начална точка край на голямата дъга се построява външна допирателна (AN, BK)към срещулежащата по-малка дъга

последователно се изчислява радиуса на двойката архимедови окръжности братовчеди - по избран подалгоритъм;

с начало общата допирна точка D на двете малки дъги в арбелоса се изчисляват координати за център I, J на всяка от окръжностите братовчеди;

последователно се построява елемент от двойката окръжности братовчеди.

Извършва се проверка за равенство на радиусите в двете окръжности. Положителният отговор на извършената проверка е и доказателство на основното твърдение в задачата архимедови окръжности братовчеди.

Центърът на двете  архимедови окръжности братовчеди принадлежи на C окръжност.

Външната допирателна към малка дъга от референтния арбелос е и допирателна за съответната окръжност от двойката  окръжности братовчеди.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: C окръжност, отражение на Bankoff, арбелос и допирна четворка, архимедови окръжности.