окръжности на Johnson

Задачата за окръжности на Johnson е пряко свързана с теорема на Джонсън (Johnson's theorem) и тя гласи:  ако в остроъгълен триъгълник се построят три триъгълника HAB, HBX, HCA (два различни върха на триъгълника и ортоцентър т.H), то 3-те описани окръжности около тези триъгълника имат еднакви радиуси.

Първата окръжност на Johnson е определена от центровете на 3-те описани окръжности, описана около първия триъгълник на Johnson. 

Втората окръжност на Johnson е покриващата окръжност на трите окръжности, тя се явява и антикомплементарна окръжност на референтния триъгълник. Има за център ортоцентъра на триъгълника и радиус - диаметъра на описана окръжност през ортоцентъра и два върха на триъгълника.

Алгоритъмът за построителната задача относно двете окръжности на Johnson използва следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за върхове на референтния триъгълник;

в цикъл последователно се построява поредната височина;

подалгоритъм за изчисляване координати на ортоцентър, пресечна точка на височините в триъгълника;

в цикъл се последователно се построява описана окръжност инцидентна с 3 точки: ортоцентър и два от върховете на референтния триъгълник - на чертежа окръжности съответно с център Qa, Qb, Qc на трите описани окръжности;

построява се тяхната покриваща окръжност (антикомплементарната окръжност) с указания радиус и център;

координатите на допирните точки A', B', C' на трите окръжности с антикомплементарната окръжност се изчисляват по алгоритъм представен в допиращи се окръжности;

последователно се построяват двете окръжности на Johnson по три точки (съответно центрове на окръжностите, допирните точки) - алгоритъмът е представен в намиране елементи на триъгълник.

Съществува обща пресечна точка на отсечки свързващи съответните върхове от триъгълник на Johnson и референтния триъгълник - точка на Johnson. Докажете твърдението, че триъгълниците с върхове A', B', C' и Qa, Qb, Qc са два подобни триъгълника.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност на Terquem, окръжност на Honsberger, окръжност на Kosnita, триъгълник на Johnson, антикомплементарна окръжност, точка на Johnson, теорема на Джонсън.