доказателство на Voets

В задачата доказателство на Voets се разглежда разностранен правоъгълен триъгълник ABC с построен външно квадрат ABED към хипотенузата. Извежда се нагледно доказателство за питагорова теорема чрез лице на успоредник.

Алгоритъмът на построителната задача доказателство на Voets съдържа следните стъпки:

построяване на правоъгълен триъгълник ABC;

построяване на  квадрат ABED;

построяване на успоредник ABFG;

построяване на EH ⊥ BF - EH е височина към хипотенузата в триъгълника BFE;

От построения квадрат ABED следва подобие на правоъгълните триъгълници ABC ≈ AGD  (с равни ъгли), и еднаквост на двойките правоъгълни триъгълници (AGD ≅ BFE) и (ABC ≅ BHE  по страна AB = BE = c и два ъгъла);

∢DAG = ∢BAC - равенството следва от ∢BAC + ∢BAG = ∢ DAG + ∢BAG = 90⁰;

следователно ▲ABC ≈ ▲DAG

височината EH дели правоъгълния триъгълник BFE на два подобни триъгълника: BFE ≈ BEH ≈ FEH;

BH / EH = EH / HF, b/a = a/HF, HF = a²/b;

Лице на успоредника ABFG със страна AG = BF и височина към нея AC = b;

Sabfg = BF*AC = (BH + HF)*AC =  (b + a²/b)*b = a² + b²;

Лице на квадрата ABED със страна AB = c;

Sabed = c²;

Sabed = Sabfg - по лема от Елементи на Евклид и неговото следствие алгоритъм за ориентирано лице;

c² = a² + b² - търсеното доказателство

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство с успоредник, доказателство на Molokach, доказателство с равнобедрен трапец, доказателство с правоъгълен трапец.