пресечна точка на отсечки

Понятието пресечна точка често се използва при определяне на забележителни точки в триъгълник.

Чрез използване на аналитична геометрия може да се определи пресечната точка на две прави.

Аналогично, ако са дадени крайните точки на отсечки принадлежащи на две прави също може да се определи тяхната пресечна точка или възможната пресечна точка при продължението им.

Чрез използване на ориентирани лица би могло да се даде еднозначен отговор дали отсечките имат пресечна точка или не и не се разглежда възможността за пресичане при евентуално продължение на отсечките.

Нека разгледаме следната примерна задача:

В равнината са дадени две отсечки, с координати на крайните точки:

отсечка 1: x1,y1 - x2,y2 ; 

отсечка 2: x3,y3 - x4,y4

Проверката за пресичане на двете отсечки се осъществява чрез ориентирани лица. За целта се формира двойка детерминанти от 3-ранг. За първата детерминанта - в първата колона са записани координати по абсцисната ос: последователно начална, крайна точка на първата отсечка, начална точка на втората отсечка. Във втората колона са координатите по ординатна ос на същите точки. Третата колона съдържа само числото 1. Разликата между двете детерминанти е само в третия ред - записани са координати на крайната точка за втората отсечка.

x1  y1  1

x2  y2  1

x3  y3  1

x1  y1  1

x2  y2  1

x4  y4  1

След изчисляване на двете ориентирани лица се сравняват само знаците на получените стойности. Ако са с различен знак, то двете отсечки имат обща пресечна точка.

При изчисляване координатите на търсената пресечна точка  може да се ползват  формулите:

A1 = y1 - y2 

A2 = y4 -y3 

B1 = x2  - x1

B2 = x4  - x3 

C1 = x1 * y2 - x2 * y1

C2 = x3 * y4 - x4 * y3

Координатите по абсцисна и ординатна ос на пресечната точка са:

Xt = (-C1 * B2 + C2 * B1) / (A1 * B2 - A2 * B1)

Yt = (-A1 * C2 + A2 * C1) / (A1 * B2 - A2 * B1)

Този алгоритъм дава координати за пресечна точка на не успоредни прави, т.е пресечната точка може да не принадлежи на отсечките. Задължително изискване е проверка за успоредност.

Описаните уравнения могат да се ползват и при въведени полярни координати на точките. Графиката  дава пример за изчисляване пресечна точка на отсечки сключващи предварително известен ъгъл.

Да се реализира проект на тема: пресечна точка на отсечки.

Потребителят да посочва начална, крайна на двете отсечки и автоматично да се извършва проверка наличие на пресечна точка.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: ориентирано лице, конкурентни прави, перпендикулярни отсечки,  ортоцентър, медицентър, точка на конкурентност.