теорема на Тебо 3

Теорема на Тебо 3 (Sawayama Thebault's Theorem) е свързана с полувписана окръжност. Има няколко названия: теорема на Thébault III, лема на Sawayama. Множеството публикации по темата и представянето на различни начини за доказателство доказва сложността на задачата. Един от начините за решение (разглеждания) е чрез алгоритъм използван във вид аполониеви задачи. Особеното е, че полувписаната окръжност трябва едновременно да се допира до две прави.

В произволен триъгълник ABC  е избрана точка, лежаща на страна от триъгълника - на чертежа т.D в цвят червен. Построена е чевиана CD. Построени са две полувписани окръжности (на чертежа с цвят лилав с точки за център P, Q). Всяка от тези окръжности трябва да допира чевианата CD, страна от триъгълника и описаната окръжност около референтния триъгълник - на чертежа с цвят зелен и център т.O. Теоремата на Тебо 3 доказва, че трите центъра P, Q, I (център на вписаната окръжност  - на чертежа с цвят син) са колинеарни.

Лемата на Sawayama (независим автор в теоремата на Sawayama-Thébault) гласи: центърът на вписаната окръжност и допирните точки на голямата полувписана окръжност със страната и чевианата в триъгълника (E, F - на чертежа с цвят лилав) са колинеарни.

Двата алгоритъма за построяване на външно полувписана окръжност и полувписана окръжност са с различна изчислителна сложност. И в лема на Sawayama и в теорема на Тебо 3 се ползва втория вид окръжност.

Описание на използвания алгоритъм в построителната задача за нагледно доказателство на теорема на Тебо 3.

Съществуват четири възможни полувписани окръжности за триъгълник и чевиана като хорда в описаната окръжност. В общия случай тези окръжности имат различен радиус. Описваният алгоритъм използва като подалгоритъм решението на аполониева задача две прави и окръжност. От резултатите се ползва само окръжността с най-голям радиус. Двете окръжности допиращи се външно до триъгълника не се разглеждат.

посочват се три не колинеарни точки за върхове на референтния триъгълник;

в цикъл изчисляват се координати за пета на медиана, височина, ъглополовяща  - подалгоритми от намиране елементи на триъгълник;

в зависимост от конкретната задача се използва определен вид чевиана или се въвежда точка, лежаща на страна от триъгълник - проверка за инцидентност на точка с права чрез алгоритъм за ориентирано лице;

като се ползва решението на системата уравнения, описващи страна, чевиана и окръжност, се изчисляват координати за център, размер на радиус и се построява голямата полувписана окръжност - по алгоритъм представен в теорема на Вериер;

изчисляват се координатите на съответните допирни точки на полувписаната окръжност с: построената  чевиана, съответната страна от триъгълника и неговата описана окръжност;

приложението  изчислява центъра на по-малката полувписана окръжност като пресечна точка между ъглополовящата на ъгъла с бедра допирателните и отсечката свързваща център на голямата полувписана окръжност и вписаната окръжност в референтния триъгълник;

построява се втората полувписана окръжност - дължината на радиуса се изчислява чрез алгоритъм за разстояние на точка до права;

изчисляват се координатите на допирните точки от една страна на полувписаната окръжност и от друга на описаната окръжност и съответната страна от референтния триъгълник - използва се свойството общата допирна точка на две окръжности лежи на отсечката свързваща центровете на двете окръжности.

Приложението позволява избор от меню на вида чевиана за демонстриране приложно доказателство на теорема на Тебо 3 - трите двойки полувписани окръжности използват съответно медиана, ъглополовяща, височина.

Докажете, че ако избрания вид чевиана в триъгълника е съответната ъглополовяща, то трите големи полувписани окръжности се пресичат в центъра на вписаната окръжност на референтния триъгълник.

Докажете, че голямата полувписана окръжност построената през през връх на триъгълника, допирните точки на страна, чевиана е инцидентна с центъра на вписаната окръжност в триъгълника.

Има публикации за описание на синтетично решение за теорема на Тебо 3

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: външно полувписана окръжност, аполониеви задачи, точка на Werier,  чевиана.