доказателство на Foster

В задачата доказателство на Foster се разглежда разностранен правоъгълен триъгълник ABC и се извежда доказателство на питагоровата теорема чрез площи. Използват се междинни фигури: квадрат BDEF с дължина на страна хипотенузата AB, чрез дисекция и транслация се формира успоредник ABEF при равенство на лицата Sbdef = Sabef и чрез последваща дисекция се образуват два нови квадрата KLMN, LOPQ с обща площ лице на успоредника Sabef = Sklmn + Slopq.

Алгоритъмът на задачата доказателство на Foster съдържа следните стъпки:

по посочени три неколинеарни точки се построява разностранен правоъгълен триъгълник ABC;

построява се квадрат BDEF с дължина на страната BD = AB и лице Sbdef = =AB²;

построява се диагонал BE;

построява се правоъгълен триъгълник  ABF ≅ BED  ≅ BEF;

четириъгълникът ABEF е успоредник (AB || EF, AB = EF), (BE ||AF, BE ||AF ) с лице Sabef = AB*BF = AB², така Sbdef = Sabef = AB²;

построява се права през връх F успоредна на BC, образува se отсечка FH || BC;

построява се права през връх A инцидентна с АC, образува се отсечка AG || AC, AG = AJ + JG = AC + BC;

построява се отсечка AJ инцидентна с АC, така че AJ = BC;

построява се отсечка IJ || BC;

следващите стъпки на  алгоритъма са отразени във втория чертеж;

последователно се построяват квадрати LOPQ  със страна LО = АC и KLMN със страна KL = BC, и следователно Sklmn = BC², Slopq = AC²;

изчисляват се координати за т.V инцидентна с OP, така че PV = BC

последователно се построяват отсечки QV, UV;

образуват се следните двойки еднакви многоъгълници:

правоъгълни триъгълници: QVP ≅ ABC, AIJ ≅ KUL, AFG ≅ KVO - за последните две равенства важи постулата на Евклид ако от равни се извадят равни крайният резултат е отново равенство ;

правоъгълeн трaпeц: BCGH ≅ KUMN, IJGF ≅ OVUL, ;

EFH ≅ VQU - по трети признак;

Sabef = AB² = Sabc + Safg + Sbcgh + Sefh;

Slopq + Sklmn = AC² + BC² = (Svqp + Svqu + Sovul) + (Skumn + Skul);

AB² = AC² +  BC²  - търсеното доказателство.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство с успоредник, доказателство с дисекция, доказателство с транспозиция, доказателство на Voets.