теорема за допирателна и секуща

Теоремата за допирателна и секуща извежда доказателство за равенството: ако от външна за окръжност точка M се построят допирателна в т.С с дължина МС и секуща пресичаща окръжността в т.A и т.B (отсечката МА лежи извън окръжността, а отсечката AB е хорда в окръжността), то е в сила равенството MC² = AM*BM

Доказателството може да бъде изведено чрез подобни триъгълници (МВС и MCA) имащи три равни съответни ъгъла - ъгъла с връх т.М е общ, а на ъглите MВC и MCA съответства една и съща дъга. MC/AM

От подобието на двата триъгълника и използвайки правилото срещу равни ъгли стоят подобни по дължина страни се извежда равенството: MC / AM = BM / MC от което следва и  MC² = AM*BM.

Алгоритъмът на построителната задача теорема за допирателна и секуща ползва следните стъпки:

въвеждат се координати на три точки като се спазва изискването разстоянието между точки 12 и 13 да е по-голямо от разстоянието 23, така че първата въведена точка да не принадлежи на окръжността;

означават се т.1 с т.М, а т.2 с т.О;

построява се окръжност с център т.О и радиус с дължина разстоянието между точки 23;

изчисляват  се координати за допирна точка чрез теорема на Питагор и се построява допирателна към окръжността в т.С;

избира се ъгъл за наклон по-малък от ъгъл СМО;

в т.М се построява права с изчисления ъгъл на наклон;

изчисляват се координатите двете пресечни точки А и B на построената права с окръжността;

Използвайки алгоритъм представен в разстояние между две точки се изчисляват търсените разстояние и се проверява изведеното равенство.

Съществуват множество задачи, чието решение ползва теорема за допирателна и секуща, като една от тях има за начални условия две не пресичащи се окръжности и построените две външни допирателни. Трябва да се докаже съществуване на трапец с основа, отсечка свързваща съответни две допирни точки, както и да се изчисли дължината на средната отсечка / основа  в трапеца. Интересното в задачата, е че ако в началното условие са дадени само координати или уравнения на окръжности и прави може да се приложи алтернативно решение с обобщена теорема на Талес за успоредни отсечки.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: пресичащи се хорди (Intersecting chords theorem), степен на точка (power of a point theorem), пресичащи се секущи (Intersecting secants theorem), ъгли в окръжност, построителни задачи с окръжност, взаимно разположение на окръжности.