доказателство на Евклид

Използваната конструкция в първото доказателство на Евклид, за теорема на Питагор, е позната с различни имена: стола на булката, опашка на паун, вятърна мелница, панталоните на Питагор, качулка на францисканеца. Доказателството не е най-краткото или най-интуитивното, но по блестящ начин извежда нагледно доказателства за основни твърдения от ръкописа познат като Елементи на Евклид.

Разглежда се правоъгълен триъгълник и построени външно квадрати към всяка от страните. Извежда се нагледно доказателство за теорема на Питагор чрез площи използвайки еднакви триъгълници. Последователността на стъпките в алгоритъма реализиращ построителната задача доказателство на Евклид са представени чрез азбучния ред на означените върхове/пресечни точки.

1) Построява се правоъгълен триъгълник ABC с ∢ACB = 90⁰, хипотенуза AB, катети BC, AC.

2) Към всяка от страните AB, AC и BC се построяват външно квадратите (с върхове в указания ред): BDEC, AFGC и ABJI, съответно с площ Sbdec=BC², Safgc=AC², Sabij=AB².

3) От връх C се построява права, успоредна на AI и BJ. Тя се явява височина в триъгълника ABC, перпендикуляр на AB и IJ пресичайки ги съответно в H и K.

4) Построяват се отсечки BF и CI, за образуване на триъгълниците ABF и AIC.

5) Ъглите BCA и ACG са съседни прави ъгли (за прави ъгли с общо рамо съответните двойки рамена са инциденти ас общи прави), следователно точките B, C и G са колинеарни - нагледно доказателство на лема за правия ъгъл описана в Елементи.

6) Ъглите BAI и FAC са прави ъгли; следователно ъглите CAI, FAB са равни ъгли, тъй като и двата ъгъла са сбор от прав ъгъл (BAI, CAF) и ъгъл CAB.

7) Тъй като CA = FA, AI = AB (като страни на квадрати) и ъгъл CAI е равен на ъгъл FAB, триъгълниците CAI и FAB са еднакви (SAS две съответни страни и ъгъл).

8) Построява се височина към хипотенузата отсечка CK (CK|| AI) CK ⊥ AB, CK ⊥ IJ - точките C, H, K са колинеарни;

8) Следващите две стъпки ще бъдат по-лесно разбрани чрез използване на допълнително построени височини - подобен чертеж със същите релации между елементите и означения на точките . За тъпоъгълния триъгълник CAI височина (с дължина = IK = AH) от връх C към страната AI; за тъпоъгълния триъгълник FAB височина от връх B (с дължина = AF = AC) към страната FA. Тези стъпки са нагледно доказателство за връзката между лица на успоредник и триъгълник с обща страна и равни височини към нея - лема за успоредник описана в Елементи.

9) Разглеждат се лице на правоъгълник AIKH и триъгълник CAI, имащи обща страна AI и равни по дължина височини ( =  AH) към нея. Така Saikh = 2*Scai.

10) Разглеждат се лице на квадрат ACGF и триъгълник FAB, имащи обща страна AF и равни по дължина височини  ( =  AF) към нея. Така Sacgf = 2*Sfab.

11) От доказаната еднаквост на двойката триъгълници: ▲CAI ≅▲FAB, (Scai = Sfab = 0.5*AC²) следва и равенството Saikh = AC²;

Към другата страна на чертежа (включваща квадрата BDEC и правоъгълника BJKH) се прилага описаната последователност в стъпки 4-10 и се извежда равенство на лицата Sbjkh = Sbdec = BC².

от построената отсечка CK следва равенство на лицата Sabij = Saikh + Sbjkh

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство.

второ доказателство на Евклид

В задачата се ползва алгоритъм за срязване чрез запазване на площта. За чертежа: конструкцията е тип вятърна мелница включваща правоъгълен триъгълник ABC с построени външно квадрати (BDEC, AFGH, ABJI)  към всяка от страните на триъгълника, отсечката CH е височина в триъгълника.

Допълнително е построен квадрат ABLM, правоъгълните триъгълници CEK, CGK. Същата конструкция се ползва в задачата доказателство на Табит. Точките K, C, P, H, T са колинеарни, еднакви триъгълници са: ABC ≅ BDL ≅ AFM ≅ CGK ≅ CEK. Две двойки еднакви правоъгълници (AHPM, AHTI), (BHPL, BHTJ). Основни елементи в алгоритъма са: доказателство за равенство на площ между: квадрат и успоредник, успоредник и правоъгълник, правоъгълник като част от квадрат.

В тази част доказателството се разделя на две части съдържащи еднакви стъпки.

Разглеждат се правоъгълен трапец BDKC като съставен от: квадрат BDEC, правоъгълен триъгълник CEK; успоредник BLKC, правоъгълен триъгълник BDL.

Sbdkc = Sbdec + Scek;

Sbdkc = Sblkc + Sbdl;

от горните две равенства и равенствата Sabc = Scek = Sbdl следва

AB² + Sabc = Sblkc + Sabc

Sblkc = BC²

Успоредник и правоъгълник (BLKC, BHPL) имат равни лица, ако има равенства между дължина на съответните страни (BL) и височината към нея (PL).

Sbhtj = Sbhpl = Sblkc = BC²

По подобен начин се извежда равенството между квадрата AFGH, успоредника AMKC, еднаквите правоъгълници AHPM, AHTI.

Sahti = AC²

Разглеждат се квадратът към хипотенузата с дължина на  страна AB и като съставен от правоъгълниците AHTI, BHTJ

Saijb = Sahti + Sblkc

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство.

Подобно решение се разглежда и в задачата доказателство на Табит. Доказателство с правоъгълен трапец също е опция.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Леонардо да Винчи, доказателство на Хюйгенс, доказателство на Табит.