арбелос и архимедови окръжности

Върху права са построени три точки A, B и C. Построени са три полуокръжности от една и съща страна на правата, така че в най-голямата полуокръжност (диаметър AC) са вписани другите две (съответно с диаметри AB и BC). Фигурата, чийто контур е образуван от трите полуокръжности се нарича арбелос.

Може би най-краткото определение за арбелос е: равнинна геометрична фигура с контур три полуокръжности.

Мнозина са проучвали свойствата на арбелос, но документирано първия е Архимед. Той доказва, че съществува на двойка еднакви окръжности (с еднакви радиуси, окръжности близнаци), които имат допирни точки до голямата полуокръжност, намират се от двете различни страни на общата допирателна между двете по-малки окръжности и се допират до едната от тях.

Тези две еднакви окръжности, в негова чест, са наречени архимедови окръжности - близнаци.

От времето на Архимед до момента са били намерени още много двойки окръжности свързани с арбелоса и имащи еднакъв радиус.

Такива двойки архимедови окръжности могат да бъдат намерени и в арбелос, състоящ се от три дъги (не точно полуокръжности) с равен централен ъгъл (различен от 180 градуса) и в същата конфигурация.

Част от характерните свойства на арбелос:

Съставящите контура му дъги имат еднакъв централен ъгъл.

Ако в състава на арбелоса влизат само полуокръжности, то двете имат обща допирателна. Тази допирателна е перпендикулярна на диаметрите на арбелоса. Може да се построи нова окръжност (радикална) с диаметър отсечка от допирателната с начало общата точка между двете полуокръжности и край пресечната й точка с най голямата полуокръжност - BD. Площта на радикалната окръжност е равно на площта на арбелоса.

Периметърът на арбелоса е равен на обиколката на най-голямата окръжност. Това се доказва лесно: сумата от диаметрите на двете по-малки полуокръжности е равна на диаметъра на най-голямата полуокръжност.

Всяка от дъгите в арбелоса има един и същ централен ъгъл.

Допирателните към радикалната окръжност с начало центровете на двете по-малки полуокръжности се пресичат с отсечките с начало общите им точки с голямата полуокръжност и допирната точка на радикалната окръжност с най-голямата полуокръжност. Лесно се доказва че двата края на най-големия диаметър и допирната/пресечната точка с радикалната окръжност образуват правоъгълен триъгълник.

Общата допирателна на двете по-малки полуокръжности преминава през центъра на радикалната окръжност.

Да се реализира проект, чрез който се построява арабелос с различно отношение между двете по-малки полуокръжности.

Тема на проекта: арбелос и архимедови окръжности.

В примерния проект отношенията между радиусите на по-малките полуокръжности се въвежда чрез списъчни полета. Автоматично се изчертава фигурата арбелос и вписаната (частично) кардинална окръжност. Извеждат се данни за неговия периметър и лице.

Практически пример за арбелос е обущарски нож. Прочете допълнителен материал за характерни точки в арбелос и построяване на архимедови окръжности.