теорема на Джонсън

Теоремата на Джонсън (Johnson's theorem) гласи: ако в остроъгълен триъгълник се построят трите триъгълника на Johnson HAB, HBX, HCA (два различни върха и ортоцентъра H), то 3-те описани окръжности около тези триъгълника се пресичат в обща точка  ортоцентъра H и имат еднакви радиуси. Обратното твърдение: нека три конгруентни окръжности с равни радиуси имат обща точка т.Н и всяка двойка окръжности има пресечни точки т.А, т.В и т.С. Тогава тези точки са инцидентни с окръжност имаща същия радиус, точките също са върхове на триъгълник с ортоцентър т.Н.

Триъгълникът на Johnson е с върхове центровете на описаните окръжности Ja, Jb, Jc и е еднакъв с началния триъгълника ABC. Двата триъгълника имат успоредни съответни страни и са еднакви.

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Джонсън  съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

в цикъл последователно се построява височина към съответната страна;

изчисляват се координати на ортоцентъра т.H - пресечна точка на височините;

в цикъл последователно се построява окръжност с център т.D, т.E, т.F, всяка от тях инцидентна с ортоцентъра и два върха на референтния триъгълник - по алгоритъм представен в намиране елементи на триъгълник;

построява се триъгълник на Johnson с върхове центровете на описаните окръжности - триъгълникът е в зелено;

в цикъл последователно се проверява равенството между радиуса на описаната окръжност и радиуса на всяка от допълнително построените окръжности - основен извод в теорема на Джонсън.

Алгоритъм, подобен на описания, се ползва при конструиране триъгълник на Коснита, триъгълник на Terquem, триъгълник на Honsberger и др.

Чрез обобщена теорема на Талес докажете или отхвърлете твърдението, че двата триъгълника референтния и конструирания са подобни/еднакви триъгълници.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност, теорема на Kosnita, теорема на Мансион, височина, триъгълник на Johnson.