окръжности на Соди

Разглеждат се две окръжности на Соди (Soddy circles) - външна окръжност, покриваща три взаимно допиращи се и вътрешна - допираща външно същата тройка окръжности.

В остроъгълен триъгълник ABC могат да бъдат построени три взаимно допиращи се и непресичащи се окръжности, всяка от тях с център връх на референтния триъгълник.

Фредерик Соди (1936 -  теоремата носи неговото име) извежда отношението от една страна между радиусите на трите взаимно допиращи се окръжности и радиусите на двете окръжности от друга. Формулата за радиусите на двете окръжности се извежда в теорема на Декарт.

Изчисляване радиусите на трите взаимно допиращи се окръжности се извежда от уравненията:

a=rb+rc; ra = (-a+b+c)/2; 

b=ra+rc; rb = (a-b+c)/2; 

c=ra+rb; rc = (a+b-c)/2; 

Алгоритъмът на построителната задача окръжности на Соди съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

в цикъл се построява поредната окръжност с център връх на триъгълника и вече изчислена дължина на радиус;

приложението ползва алгоритъм за покриваща и вписана окръжност, използван при решаване на основните аполониеви задачи;

изчисляват се координати за център и дължина на радиус за външна окръжност на Соди, описаната окръжност (outer Soddy circle) - на чертежа в зелено;;

изчисляват се координати за център и дължина на радиус за вътрешна окръжност на Соди, вписана окръжност (inner Soddy circle) - на чертежа в червено;

Двата центъра еднозначно определят права на Soddy. По-често срещаната асоциация за окръжности на Соди е за трите допиращи се окръжности.

Ако центърът на описаната окръжност около 3-те окръжности (I-ва точка на Соди) се означи с т.O, то могат да се проверят равенствата: BC + AO = AC + BO = AB + CO

Ако центърът на вписаната окръжност (II-ра точка на Соди) се означи с т.Q,  то са в сила  равенствата: BC - AQ = AC - BQ = AB - CQ.

В теорема на Декарт (Descartes' theorem) от геометрията се доказва, че 4 допиращи се окръжности удовлетворяват квадратно уравнение, съдържащо размерите на техните радиуси. Компилираното приложение конструира нагледно доказателство за покриваща окръжност.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: пространствения вариант Soddy's hexlet, аполониеви задачи, вписана окръжност, окръжности на Malfatti, окръжности на Лукас, теорема на Декарт (в геометрията), триъгълници на Soddy, права на Soddy, радикална окръжност на Soddy, радиус.