допирателна

За допирателна (tangent) към окръжност съществуват множество определения: права линия, която има само една обща точка с окръжността, без да я пресича. Допирателната е права през двойка безкрайно близки точки на кривата. Допирателната е права, така че между нея и кривата не може да мине друга права, която да не ги пресича.

Радиусът на окръжността в точката на допиране е перпендикулярен на допирателната - по условие допирателната има една единствена обща точка с окръжността, а най-малкото разстояние от центъра на окръжността до правата е с дължина радиуса. Доказателство чрез централен и периферен ъгъл, че ъгълът е прав - MON e централен ъгъл от 180 градуса (като диаметър в точка на допирането) и следователно   съответния му периферен ъгъл TMO е прав ъгъл.

Дължината на допирателна от външна точка за окръжност до точката на допиране може да се изчисли  чрез теорема на Питагор - по условие са дадени координатите на т.T(x,y) и т.O(x,y). В правоъгълния триъгълник TMO, TO е хипотенуза - разстоянието от точката до центъра на окръжността,  MO е радиус на окръжността, а дължината на допирателната е TM² = TO² - MO².

Дължината на допирателна TM чрез теорема за степен на точка като пропорционална отсечка: TM² = TO*PO.

От точка (външна за окръжност) могат да бъдат построени две допирателни с равна дължина - това може да се докаже с еднакви правоъгълни триъгълници имащи обща хипотенуза.

Примери:

страните на триъгълник са допирателни към вписаната окръжност, от всеки връх на триъгълника са построени двойка допирателни;

страна на триъгълник и продължението на другите две страни са допирателни към външно вписана окръжност;

страните на описан многоъгълник са допирателни към вписаната окръжност, от всеки връх са построени двойка допирателни;

задачата за степен на точка може да се ползва като основа за построяване на правоъгълен делтоид. Външната точка и центъра на окръжността образуват единия диагонал, а двете допирни точки втория диагонал.

Към окръжност могат да бъдат построени две допирателни, едновременно успоредни на дадена права. Хордата, свързваща двете допирни точки е диаметър на окръжността.

Алгоритъм: Въвеждат се координати на 4 точки: т.1 - център на окръжността, т.2  край на радиус, т. 3 е начало на отсечка, т.4 край на отсечка. Изчислява се дължината на отсечката 34, която е и дължина на радиуса R. Постоява се окръжност с център т.1 и радиус R.  От центъра на окръжността се построява отсечка, перпендикулярна на 34, с начало т.1 и край т.5. Изчислява се ϕ ъгъла на наклон на отсечката 15. От т.1 се построява отсечка 16 с вече изчисления ъгъл на наклон и с дължина R. В т.6 се построява права успоредна на отсечката 34. Изчисляват се полярните координата на т.7 - начало т.6, дължина 2R и ъгълна на наклон γ = π+ϕ. В т.7 се построява права успоредна на отсечката 34.

Особен вид допирателни са едновременно допиращи се до две или повече окръжности. Такива са външна допирателна и вътрешна допирателна, Разликата между тях е позицията на пресечната точка между допирателната и правата инцидентна с двата центъра.

Прочетете допълнителен материал за изчислителна геометрия относно: окръжност, описана окръжност, вписана окръжност, външно вписана окръжност, външна допирателна, вътрешна допирателна, степен на точка, делтоид.