окръжност на Bankoff

Задачата окръжност на Bankoff (circle Bankoff) разглежда арбелос, допълнителна окръжност допираща се едновременно до неговите трите дъги. Построена е архимедова окръжност допираща се до основната ос и инцидентна с допирните точки между допълнителната окръжност и дъгите на арбелоса.

 Авторът Leon Bankoff, при представяне на задачата, ползва определена математическа абстракция за извеждане дължина на радиус за архимедова окръжност.

Използвани означение:

диаметър на арбелос: AB = 1 - спомената абстракция;

диаметър на лява дъга: r = AD;

диаметър на дясна дъга: 1 - r = BD;

радиус на архимедова окръжност: R;

изведена формула за радиус на архимедова окръжност:  R = r*(1-r)/2;

Въведеното понятие архимедова окръжност представя всяка окръжност от арбелос имаща радиус равен на  радиуса на окръжностите близнаци (представени от Архимед).

При описание на на различните архимедови окръжности ще се ползва друга символика:

диаметър на лява дъга: Ra = AD/2;

диаметър на дясна дъга: Rb = BD/2 ;

радиус на арбелос: R = AB/2 = Ra + Rb;

радиус на архимедова окръжност: Rh;

формулата за радиус на архимедова окръжност придобива вида:  Rh = Ra*Rb/(Ra + Rb);

В определението за окръжност на Bankoff стои изискване за решаване частен случай на вид основна аполониева задача - построяване на окръжност, допираща ще външно до две вписани окръжности и вътрешно до покриващата окръжност. 

Алгоритъм с по-ниска сложност описва построяванe на  двойката окръжности с обратен реда на основа познати свойства на разглежданата окръжност на Bankoff:

центърът на окръжността лежи на перпендикуляра CD - това свойство е разгледано и в задачите: арбелос и ъглополовяща, триплет окръжности на Bankoff;

диаметърът може да бъде определен като отсечка TD заключена между точка D петата на перпендикуляра и пресечната точка T между перпендикуляра и отсечка UV свърваща средите на малките дъги;

изчислената дължина на отсечката TD може да бъде сравнена с предварително изчисления диаметър/радиус на архимедова окръжност като се ползва изведената формула за Rh;

първата построена е окръжност на Bankoff, втора е допиращата се до трите дъги - тази конструкция се ползва и в други задачи.

Използваният алгоритъм, на построителната задача окръжност на Bankoff, съдържа следните стъпки:

посочват се 3 не колинеарни точки A, B, C образуващи върхове на остроъгълен триъгълник;

извършват се корекции на координати за т.B, така че отсечката AB да бъде успоредна на абсцисната ос;

изчисляват се координати за т.D - проекция на т.С върху отсечката AB;

изчисляват се координати за център и радиуси на дъгите в референтнтния арбелос:

лява дъга: радиус Ra = AD/2 и център т.Е (AE = DE);

дясна дъга: радиус Rb = BD/2 и център т.F (DF = BF);

основна дъга: радиус R = AB/2 = (Ra+Rb)/2 и център т.O (AO = BO);

изчислява се дължина на радиус за архимедова окръжност: Rh = Ra*Rb/(Ra + Rb);

построява се основната ос AB в арбелоса и диаметър на основната дъга;

последователно се построяват основната и двете малки дъги;

изчисляват се средна точка за малките дъги и се построява отсечка UV;

чрез теорема на Питагор се преизчисляват координатите на т.C, така че да бъде инцидентна с голямата дъга на арбелоса;

построява се перпендикулярът CD (CD ⊥ AB), петата на перпендикуляра е и допирна точка на малките дъги;

изчисляват се координати за пресечната точка Т = CD x UV, изчислява се дължина на отсечката TD и се сравнява с вече изчислената стойност за радиус Rh;

изчисляват се координати за център т.Q (QD ⊥ AB), QD = Rh

построява се търсената архимедова окръжност на Bankoff - на чертежа с цвят виолетов;

последователно се изчисляват координати на пресечните точки т.M, т.N с малките дъги на референтния арбелос;

изчисляване координати за център т.J  е на база определението: окръжността се допира до трите дъги на арбелоса;

последователно се построяват двойка прави (EM, FN) през център на малка дъга и съответната пресечна точка с вече построената окръжност на Bankoff;

изчисляват се координати на тяхната пресечна точка J = EM x FN;

изчислява се радиус на допълнителната окръжност JM = JE - Ra - по алгоритъм разстояние между две точки;

построява се допълнителната окръжност - на чертежа с цвят син;

изчисляват се координати на допирната точка К между построената окръжност и основната дъга в референтния арбелос;

чрез алгоритъм за ориентирано лице се извършва проверка дали точките O, J, K са колинеарни.

Докажете или опровергайте твърдението, че отсечките CD, UV, OK са конкурентни с обща пресечна точка T. 

Разгледайте други основни типове примерни проекти свързани с арбелос и архимедови окръжности.  Потърсете допълнителен материал за: арбелос и ъглополовяща, триплет окръжности на Bankoff, архимедови окръжности.