архимедови окръжности

Задачата за архимедови окръжности има хилядолетна история. Разглежда се фигура арбелос съставена от три дъги (полуокръжности) съответно с радиуси Ra, Rb, R=Ra+Rb. Центърът на всяка от дъгите е инцидентен с оста на арбелоса. С пета допирната точка на двете малки дъги е построен перпендикуляр към оста.

Архимедови окръжности е общо название за окръжности в арбелос имащи радиус Rh = Ra*Rb/( Ra+Rb).

Първите две документирани архимедови окръжности се допират едновременно до голямата дъга, една от малките дъги и до перпендикуляра. Името се налага при превод от гръцки на арабски.

Съществуват множество архимедови окръжности както единични, така и в комбинация и броят им продължава да расте. В преобладаващия брой случаи се доказват поне 2 броя допирни/пресечни точки с вече съществуващи обекти от референтния арбелос. Изключения правят задачите свързани с отражение на построени архимедови окръжности.

В задачата окръжности на Woo авторът доказва, че броят архимедови окръжности е неограничен (за конкретния алгоритъм).

Примери за единична архимедова окръжност са: C окръжност, окръжност на Bankoff, вписана окръжност на Schoch, окръжност на Dearing, окръжност на Okumura-Watanabe и др.

Съществува непълно определена разлика в наименованията за комбинация от 2 архимедови окръжности - близнаци, братя, братовчеди, двойки. Примери за подобни комбинации са задачите: близнаци на Dao (Dao's twins), близнаци на Schoch (Schoch twins), братя на Bankoff (Bankoff brothers), архимедови окръжности братовчеди ( cousin circles), братовчеди и правоъгълник, арбелос и външни двойки на Power, двойка на Garcia и др.

При реализацията на алгоритъма на задачата архимедови окръжности и разгледаните сходни с нея се използват теореми и формули от изчислителна геометрия.

Алгоритъмът на построителната задача архимедови окръжности съдържа следните стъпки:

посочват се 3 не колинеарни точки A, B, C образуващи върхове на остроъгълен триъгълник;

извършват се корекции на координати за т.B, така че отсечката AB да бъде успоредна на абсцисната ос;

изчисляват се координати за т.D - проекция на т.С върху отсечката АВ;

изчисляват се координати за център и радиуси на дъгите в референтнтния арбелос:

лява дъга: радиус Ra = AD/2 и център т.Е (AE = DE);

дясна дъга: радиус Rb = BD/2 и център т.F (DF = BF);

основна дъга: радиус R = AB/2 = (Ra+Rb)/2 и център т.O (AO = BO);

изчислява се дължина на радиус за архимедова окръжност: Rh = Ra*Rb/(Ra + Rb);

построява се основната ос AB в арбелоса и диаметър на основната дъга;

последователно се построяват основната и двете малки дъги;

чрез теорема на Питагор се преизчисляват координатите на т.С, така че да бъде инцидентна с голямата дъга на арбелоса;

построява се перпендикулярът CD (CD ⊥ АВ), петата на перпендикуляра е и допирна точка на малките дъги;

последователно се построяват допирателни AN, BM към малките дъги - по алгоритъм представен в допирателна;

последователно се изчисляват дължини на отсечките AF, BE;

последователно се изчисляват координати на допирните точки - използват се съответните правоъгълни триъгълници ANF, BME;

последователно се изчисляват координати на двете допирни точки M, N - използвания алгоритъм е в зависимост от вече реализирана функция: пресечна точка на две окръжности (абсолютни координати) или обратни тригонометрични функции (полярни координати);

последователно се изчисляват дължини на отсечките EI = Ra+ Rh, FJ = Rb +Rh;

последователно се изчисляват координати на двете точки I,J - център на търсените архимедови окръжности;

последователно се извършва проверка за равенство  на отсечките R - OI = R - OJ = Rh - получените конгруентни стойности са доказателство, че се изпълнява основно изискване в задачата: и двете окръжности се допират до основната дъга в референтния арбелос;

аналогично проверка може да се извърши и за дължината на ортогоналната проекция на точките I, J върху перпендикуляра CD;

последователно се построяват две окръжности с радиус Rh и център точки I, J - търсените окръжности в задачата архимедови окръжности.

При увеличаване разликата между радиусите на малките дъги се увеличава се разстоянието между допирните точки на двойката окръжности. Сходен ефект със задачата права на Schoch и средна дъга.

Темата архимедови окръжности предоставя богато илюстрован материал за представяне/затвърждаване на знанията по основни понятия. Примерите са многобройни:

външна допирателна - близнаци на Dao;

външна допирателна на две окръжности;

делтоид - в задачата C окръжност;

допирателна от точка външна за окръжност, степен на точка;

допирна точка - общите точки между голямата и малките дъги на арбелоса, между малките, между построената архимедова окръжност и дъгите на референтния арбелос;

еднакви не архимедови окръжности - в задачата арбелос и окръжности на QTB;

инцидентност на точки с права/окръжност - точки инцидентни с права в задачата окръжности на Woo - център на всяка от построените архимедови окръжности;

квадрат - с върхове център на окръжностите от задачата квартет външни двойки;

конгруентни стойности - сравняване на предварително изчислената дължина за радиус на архимедова окръжност с дължината на построената;

перпендикулярни отсечки - основния перпендикуляр в арбелоса;

правоъгълен трапец - задача двойка на Garcia, произволен арбелос при построени продължения за радиуси на малките дъги в средната точка;

правоъгълник - братовчеди и правоъгълник;

пресечна точка (отсечка-отсечка, отсечка-окръжност/дъга, окръжност-окръжност) - между външната допирателна и основния перпендикуляр;

свойства на права/отсечка - права на Schoch;

среда на отсечка/дъга - представено в арбелос и окръжности на Power;

точка на конкурентност, конкурентни отсечки/прави - обща пресечна точка в задачата братовчеди и правоъгълник;

хорда - задача арбелос и хорди на Biu;

успоредник - в триъгълник ABC е построена неговата 9-точкова окръжност и арбелос с диаметър на голямата дъга AB и допирна точка на малките дъги - пета на височината т.D от срещулежащия връх т.C. Успоредникът е с върхове  т.D, т.Q - център на описаната окръжност около триъгълника, т.M средна точка на голямата дъга, т.H ортоцентър на триъгълника.

Разгледайте други основни типове примерни проекти свързани с арбелос и архимедови окръжности. Потърсете допълнителен материал за: близнаци на Dao, близнаци на Schoch, братя на Bankoff, права на Schoch.