теорема на Casey

В теорема на Casey (Casey's Theorem) се разглежда случай, в който четири окръжности (с център Оa, Оb, Оc, Оd) се допират (вътрешно) до окръжност с център О.

Построени са външни допирателни между всяка двойка окръжности срещулежащи двойки (a,c) и (b, d) както и двете външни допирателни по диагонал (e, f). Теоремата доказва следното равенство:

 a*c + b*d = e*f

Равенството остава в сила, ако 4-те окръжности се допират външно до основната окръжност.

Друго наименование за теорема на Casey е обобщена теорема на Птоломей (Ptolemy theorem). Ако радиусите на 4-те окръжност са нула, т.е. 4-те окръжности са изродени в точка задачата се свежда до вписан четириъгълник. Първата теорема на Птоломей гласи: произведението от диагоналите на вписан четириъгълник е равно на сумата от произведенията на срещулежащите му страни.

Широко известен факт е, че най-краткото известно доказателство за теорема на Фойербах се основава на обратната теорема на Кейси.

Алгоритъмът на построителната задача за доказване равенството от теорема на Casey съдържа следните стъпки:

посочват се две точки A, B първата за център на описаната окръжност, а втората за изчисляване на нейния радиус R;

посочват се 4 точки Oa, Ob, Oc, Od), като нито една комбинация за три от тях не са колинеарни точки;

в цикъл последователно се изчислява радиус (Ra, Rb, Rc, Rd) на поредната вписана окръжност;

в цикъл последователно се построява външна допирателна до всяка двойка от вписаните окръжности и се изчислява тяхната дължина - по алгоритъм представен в разстояние между две точки.

Извеждат се изчислените дължини на външните допирателни и се проверява доказаното в теорема на Casey равенство.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Птоломей, вписан четириъгълник, теорема на Newton.