външно вписана окръжност

За триъгълник всяка външно вписана окръжност се допира до страна на референтния триъгълник и до продълженията на останалите две. Центърът й е пресечна точка между вътрешната ъглополовяща на срещулежащия ъгъл и външните ъглополовящи от другите два върха.

Формули за радиус на външно вписана окръжност в триъгълник по лице и страна: Ra = S/(p - a);  Rb= S/(p - b);  Rc= S/(p - c), където полупериметъра p = (a+b+c)/2

При изчисляване координати за пети на всяка ъглополовяща се ползва теорема за ъглополовящата. Ъглополовящата на вътрешния ъгъл на триъгълника дели противоположната си страна в отношение равно на отношението на двете принадлежащи страни.

Представеният списък с алгоритми за построяване няма претенции за изчерпателност, а само илюстрира факта, че изборът се предопределя от наличните входни данни:

в цикъл последователно се построява всяка ъглополовяща - на чертежа с цвят виолетов;

изчислява се и се построява пресечната точка на ъглополовящите (център на вписаната окръжност), чрез алгоритъм за намиране пресечна точка на отсечки;

в цикъл последователно се изчислява и се построява петата на всяка ъглополовяща - на чертежа с цвят червен;

в цикъл последователно се построява продължението на всяка страна от триъгълника в началото и края - на чертежа в цвят син;

в цикъл последователно се изчислява и се построява външна ъглополовяща, на външен ъгъл на триъгълника  - между  страна и продължението на съседната страна (на чертежа в цвят зелен);

в цикъл последователно се изчислява и се построява пресечната точка на ъглополовящите на вътрешния и външния ъгъл на триъгълника - на чертежа с цвят червен.

в цикъл се построява поредната външно вписана окръжност, всяка с радиус изчислен по представените формули.

Трите двойки ъглополовящи на външните ъгли образуват външно централен триъгълник.

Втори алгоритъм за построяване външно вписана окръжност с начални данни координати за върхове на референтния триъгълник:

изчисляват се дължините на страните - алгоритъм за разстояние между две точки (теорема на Питагор);

изчислява се лице на триъгълника - алгоритъм ориентирано лице;

изчислява се радиус на описана окръжност R;

в цикъл се изчисляват ъглите в триъгълника - синусова теорема;

в цикъл се изчислява дължина на всяка ъглополовяща на вътрешен ъгъл;

в цикъл се построява всяка ъглополовяща чрез полярни координати: начална точка връх на триъгълника, радиус вектор дължина на ъглополовяща, ъгъл на наклон равен на сумата от ъгъла на наклон на рамо на ъгъла и половината от изчисления ъгъл;

в цикъл се построяват външно вписаните окръжности, всяка с радиус изчислен по представените формули.

Следващият алгоритъм е вариант на гореописания, но неговата привидна простота не отразява обработката на изключенията:

изчисляват се дължините на страните;

изчислява се лице на триъгълник;

изчислява се R радиус на описана окръжност;

в цикъл се изчисляват ъглите в триъгълника, чрез синусова теорема;

в цикъл се построяват двойката ъглополовящи на външните ъгли към всяка страна;

в цикъл се изчисляват и построяват пресечните точки на ъглополовящите - център на съответната вписана окръжност;

в цикъл се изчисляват радиусите на всяка външно вписана окръжност чрез алгоритъм за разстояние на точка (центъра) до права (страна на референтния триъгълник);

в цикъл се построяват външно вписаните окръжности.

Прочетете допълнителен материал за изчислителна геометрия: окръжност, вписана окръжност, външно полувписана окръжност,  описана окръжност, ъглополовяща, теорема за ъглополовяща, триъгълник.

Подобни алгоритми на описаните се използват в построителни задачи за:

аполониева окръжност - покрива трите външно вписани окръжности;

външно централен триъгълник (excentral triangle) - с върхове в център на външно вписана окръжност;

външно контактен триъгълник (extouch triangle)  - върхове в допирните точки на трите външно вписани окръжности с референтния триъгълник;

триъгълник с вътрешни допирателни (intangents Triangle) - има за върхове пресечна точка на двойка вътрешни допирателни към две външновписани окръжности;

триъгълник Hexyl - с върхове пресечните точки на перпендикулярите спуснати от центъра на срещулежащата външно вписана окръжност към продълженията на страните (рамената на съответния ъгъл);

точка на Нагел (Nagel point) - пресечна точка на правите свързващи връх на референтния триъгълник и съответната допирна точка на външно вписана окръжност;

точката на Беван (Bevan point) в произволен триъгълник ABC е център на окръжността, преминаваща през центровете на трите външно вписани окръжности на референтния триъгълник;

теорема на Мансион (Mansion's theorem): всяка отсечка, свързваща център на вписана с център на външно вписана окръжност се дели на две равни части от описаната окръжност около същия триъгълник.