симедиана

Симедиана (Symmedian) в триъгълник е отсечка, вид чевиана и свързва връх на триъгълника със срещулежащата му страна. От един и същи връх на триъгълника симедианата (в червено) е ъглово симетрична на медианата (в зелено) спрямо ъглополовящата (в синьо).

Свойства на симедиана:

ъгълът, сключен между медиана и ъглополовяща от един и същи връх е равен на ъгъла между ъглополовящата и симедианата от същия връх;

трите симедиани в триъгълник имат обща пресечна точка - точка на Lemoine (на чертежа с цвят виолетов);

общата пресечна точка на симедианите (в лилаво) лежи в триъгълника, също като и центъра на описаната окръжност (пресечна точка на ъглополовящите) и центъра на тежестта (пресечната точка на медианите);

разстоянията от общата точка на симедианите до всяка от страните на триъгълника са пропорционални на дължините на страните

Общата пресечна точка на симедианите е записана като точка на Lemoine, под номер X6 (от списъка на Clark Kimberling) в Encyclopedia of Triangle Centers.

Построителната задача за симедиана изисква и построяване на:

пета на ъглополовяща - ползва се теорема на ъглополовяща;

пета на медиана - средна точка на отсечка;

изчисляване дължина на ъглополовяща;

изчисляване дължина на медиана;

изчисляване дължина на разстоянието между петите на ъглополовящата и медианата - алгоритъм разстояние между две точки;

изчисляване на ъгъла между ъглополовяща и медиана - косинусова теорема;

построяване на права с начална точка връх на триъгълника и ъгъл на наклон изчислената сума от двата ъгъла;

изчисляване на ъгъла на наклон на ъглополовящата - алгоритъм уравнение на права в равнината;

изчисляване пета на симедиана - алгоритъм пресечна точка на правата със срещулежащата страна.

Да се реализира проект на тема: свойства на симедиана.

Проектът да дава възможност на потребителя да:

провери съществуването на обща точка за симедианите в произволен триъгълник - използвайте алгоритъм за пресечна точка на две прави, алгоритъм за принадлежност на точка към права

провери твърдението за конгруентни стойности на отношенията: AK/Kka и (b^2 + c^2)/a^2 - използвайте теорема на Питагор за да изчислите разстояние между две точки;

провери твърдението, че точката на Lemoine е център на тежестта в своя педален триъгълник.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: триъгълник, точка на Lemoine, изотомично спрегната точка.