доказателство с равнобедрен трапец

В задачата доказателство с равнобедрен трапец  се разглежда равнобедрения трапец BDEA (AE || BD, AB = DE) като съставен от правоъгълник CFEA и еднаквите разностранни правоъгълни триъгълника ABC ≅ DEF.  Извежда се основното уравнение в питагоровата теорема чрез равенство на площи - лицето на равнобедрения трапец се представя от една страна като произведение между полусума на двете основи (BD+AE)/2 и височина AC, а от друга като сума от лицата на отделните елементи в трапеца.

лице на равнобедрен трапец Sbdea = BE*AC = (BC + CE)*AC =  (BC + AC)*AC;

Sbdea = Sabc + Scfea + Sdef = 2*Sabc + Scfea;

Подобно на алгоритъма, разгледан в задачата доказателство на Bhaskara, правоъгълникът CFEA се разглежда като съставен от двойките подобни правоъгълни триъгълника CFM ≅ AKE ≅ ABC и ACN ≅  EFL и образувания нов правоъгълник MLKN.

Scfea = 2*Scfm + 2*Sacn + Smlkn = 2*Sabc + 2*Sacn + Smlkn;

От подобието на правоъгълните триъгълници ACN ≈ ABC се извеждат пропорциите: AN/AC = BC/AB, CN/AC = AC/AB.

AN = BC*AC/AB, CN = AC²/AB;

от ABC ≅ DEF ≅ CFM ≅ AEK се извежда: BC = CM = DF = KE;  AC = EF = FM = AK;

Sbdea = (Sabc + Sdef) + (Scfm + Saek) + ( Sacn + Sefl) + Smlkn;

AC*(BD + AE)/2 =  4*AC*BC/2 + 2*AN*CN/2 + (AC - AN)*(CN - BC);

AC*(BC + AB + BC + AB)/2 =  4*AC*BC/2 + 2*AN*CN/2 + (AC - AN)*(CN - BC);

AC*(BC + AB) =  2*AC*BC + AN*CN + AC*CN - AC*BC - AN*CN +BC*AN;

(BC + AB)*AC =  BC*AC + AC*CN + BC*AN;

Чрез заместване на пропорционалните отношения между съответните страни в подобните правоъгълни триъгълници:

AN = BC*AC/AB, CN = AC²/AB.

(BC +AB)*AC =  BC*AC + AC*(AC²/AB) +BC*(BC*AC/AB);

(BC + AB)*AC =  (BC*AC*AB + AC*AC² +BC*BC*AC)/AB;

(BC + AB)*AC = (BC*AB + AC² + BC²)*AC/AB;

(BC + AB)*AB = BC*AB + AC² + BC²;

BC*AB + AB² = BC*AB + AC² + BC²;

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство.

вариант с равнобедрен трапец

В задачата вариант с равнобедрен трапец се разглежда две групи еднакви правоъгълни триъгълници ANM ≅ BNM ≅ NDK ≅ CNK и равнобедрени правоъгълни AND ≅ BNC и се извежда основното уравнение на питагоровата теорема чрез равенство на площи. Отсечката KM  в трапеца е едновременно бимедиана (свързва средите на две срещулежащи страни в четириъгълник) и средна височина (maltitude - с начало среда на основа и перпендикулярна към  срещулежащата страна ). Точка N дели височината KM в отношение MN/KN = a/b.

Лицето на образувания от триъгълниците равнобедрен трапец ABCD може да се представи като:

от една страна като произведение между височина и полусума на двете основи: Sabcd = KM*(AB+CD)/2 = (a+b)*(b + b + a + a)/2 = (a+b)*(a+b) = a² + 2ab + b²;

от друга страна като сума от лицата на съставящите го правоъгълни триъгълници: Sabcd = (Samn + Sbnm + Sndk + Scnk) + (Sand + Sbnc)

a² + 2ab + b² =  4ab/2 + 2*c²/2;

a² + b² = c² - търсеното доказателство.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство с успоредник, доказателство на Bhaskara, доказателство на Molokach, доказателство на Voets, доказателство с правоъгълен трапец,  бимедиана.