доказателство на Сократ

В задачата доказателство на Сократ се разглежда разностранен правоъгълен триъгълник ABC. Построени са квадрати AECI, BDCJ с обща страна и дължина на диагонал съответния катет на референтния триъгълник. Извежда се доказателство за питагорова теорема чрез лица на триъгълници.

Задачата е представена от Платон, в диалога на Сократ с момче, като илюстрация.

В случая, с цел онагледяване, се ползва следствие от теорема на Талес - описаната окръжност (на чертежа с цвят жълт)  около правоъгълен триъгълник ABC има за център т.O среда на хипотенузата AB. При извеждане на равенствата в задачата доказателство на Сократ се ползват свойства на правоъгълен трапец ABDE, вписан четириъгълник  AHBC, признаци за еднаквост на правоъгълни триъгълници, доказателство за равнолицеви четириъгълници.

CH е ъглополовяща на правия ъгъл ACB и разполовява срещулежащата дъга AHB от описаната окръжност. Така диаметърът през т.H е перпендикулярен на диаметъра AB и хипотенуза на референтния триъгълник, а триъгълникът ABH е равнобедрен правоъгълен триъгълник.

AI ⊥ CH, BJ ⊥ CH - свойство на квадрат;

диагоналът BC разделя квадрата BDCJ (BD = CD = CJ = BJ) на два равнобедрени правоъгълни триъгълника;

квадратът AECI (AI = CI = CE = AE) е с диагонал AC;

В доказателството за еднаквост на правоъгълните триъгълници AHI, BHJ се ползва алгоритъма за равенство на ъгли използван и в задачата вятърна мелница - първото доказателство на Евклид:

двата триъгълника имат равни хипотенузи AH = BH, ∢AIH = ∢BJH = 90⁰;

∢AHI + ∢BHJ = 90⁰ - правоъгълен триъгълник AHB;

∢AHI + ∢HAI = 90⁰ - правоъгълен триъгълник AHI;

следователно ∢HAI = ∢BHJ и еднаквост на правоъгълните триъгълници▲AHI ≅ ▲BHJ.

CH = CJ + HJ = BJ + AI = AE + BD

Доказателство за равни лица:

Лице на правоъгълен трапец ABDE:

Sabde = DE*(AE + BD)/2;

Sabde = CH*(AI + BJ)/2;

Sabde = CH*DE/2;

Лице на вписан четириъгълник AHBC:

Sahbc = Sahc + Sbhc;

Sahbc = CH*AI/2 + CH*BJ/2 = CH*(AI + BJ)/2;

Sahbc = CH*DE/2;

Sahbc = Sabde = CH*DE/2;

От теорема на Талес - в равнобедрен правоъгълен триъгълник височината към хипотенузата е с дължина половината от хипотенузата и радиус на описаната окръжност.

Sabde = Sabc + Sace + Sbcd;

Sabde = Sabc + AC²/4  + BC²/4;

Sahbc = Sabc + Sabh;

Sahbc = Sabc + AB²/4;

Sabc + AB²/4 = Sabc + AC²/4  + BC²/4;

AB² = AC²  + BC² - търсеното доказателство.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: доказателство на Евклид, доказателство на Гарфийлд, вариант на Сократ и Zhong.