четиризнаци окръжности на Bankoff

Задачата четиризнаци окръжности на Bankoff (Bankoff's quadruplet circle) или окръжности в правоъгълник е елемент от групата Архимедови окръжности. Разглеждат се арбелос и 4 окръжности с равен радиус, центъра на всяка е разположен във върховете на правоъгълник. Негови диагонали са: 1) MN допирните точки на външната допирателна към двете малки дъги в референтния арбелос и 2) CD перпендикулярът към оста на арбелоса в общата допирна точка между двете дъги.

Алгоритъмът на построителната задача четиризнаци окръжности на Bankoff съдържа следните стъпки:

посочват се 3 не колинеарни точки A, B, C образуващи върхове на остроъгълен триъгълник;

изчисляват се координати за т.D - проекция на т.С върху отсечката АВ;

построява се перпендикулярът CD (CD ⊥ АВ) крайните точки на перпендикуляра лежат на двете търсени окръжности;

построява се арбелос имащ за диаметър на основната дъга отсечката AB, диаметърът на другите 2 дъги се определят от отсечките AD, BD;

построява се външна допирателна MN към малките дъги - по алгоритъм описан във външна допирателна;

построява се помощна окръжност с център т. Т и радиус СТ:  пресечната точка Т разполовява отсечките MT = NT = TD = CT;

изчислява се радиус на архимедова окръжност Rh =  AE*DF/(AE*DF)) за референтния арбелос;

последователно се построява двойка архимедови окръжности с център т.U, т.V и диаметър определен от разстоянието между крайните точки на перпендикуляра CD до общата външна допирателна MN;

последователно се построяват втора двойка окръжности с център т.I , т.J , и диаметър определен от разстоянието крайни точки на общата външна допирателна MN до перпендикуляра CD;

в цикъл последователно се проверява за равенство между радиус на поредната окръжност в построената  група четиризнаци окръжности на Bankoff и изчислената дължина за радиус Rh.

Проверява се друго твърдение в задачата четиризнаци окръжности на Bankoff - върховете на четириъгълника DNCM са върхове на правоъгълник. От общите свойства на арбелос е известен факта: дължините на перпендикуляра CD и външната допирателна MN са равни (CD = MN) и се взаимно разполовяват от пресечната си точка T = CDxMN. Това свойство е присъщо за правоъгълник и квадрат. Чрез теорема на Талес за описана окръжност лесно се доказва, че четириъгълникът DNCM е правоъгълник в общия случай. Описаната помощна окръжност илюстрира твърдението.

Частен случай за задачата е равни на радиуси на малките дъги (AE = DF), a правоъгълникът DNCM става квадрат.

Разгледайте други основни типове примерни проекти свързани с арбелос и архимедови окръжности.  Потърсете допълнителен материал за: отражение на Bankoff, окръжност на Bankoff, братя на Bankoff, архимедови окръжности.