точка на Декарт

Точка на Декарт (Descartes point) е съставна част от по-общата задача за 4 едновременно допиращи се окръжности. Търсят се координати на пресечна точка между отсечки свързващи център на окръжност с допирната точка на две окръжности.

Представеният алгоритъм за построителната задача точка на Декарт ползва части от алгоритъм  триъгълник на Soddy със същите ограничения за вида на триъгълника.

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за върхове на триъгълник;

в цикъл се построяват три допиращи се окръжности - окръжности на Soddy; 

в цикъл се изчисляват координати на допирни точки E, F, G между всяка двойка окръжности;

в цикъл се свързват център на окръжност с допирната точка на другите две окръжности - отсечки AF, BG, CE;

в цикъл се изчислява пресечна точка на всяка двойка отсечки и с алгоритъм за ориентирано лице се доказва, че пресечната точка т.D  е инцидентна с трите отсечки - това е и търсената точка на Декарт.

С цел по-добро илюстриране позиция за точка на Декарт са представени и другите две окръжности, допиращи се едновременно до използваните от алгоритъма окръжности на Soddy.

Разглежданата задача е част от теорема на Декарт (Descartes' theorem) извеждаща твърдението: 4 допиращи се окръжности удовлетворяват квадратно уравнение, съдържащо размерите на техните радиуси. Декарт обсъжда изводите в писмото си до принцеса Елисавета през 1643 г. Фредерик Соди преоткрива същите уравнения през 1936 г. 

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Декарт, радикална окръжност на Декарт, аполониеви задачи, изопериметрична точка (Isoperimetric point).