окръжности на Malfatti

Задачата за окръжности на Malfatti (Malfatti circles) изисква построяване на три окръжности, вписани в триъгълник, така че всяка от тях се допира външно до другите две окръжности, но едновременно с това и до две от страните на триъгълника.

Започната е като практическа задача, чиято цел е да се изрежат 3 цилиндъра с най-големия възможен общ обем по дължина на триъгълна призма. Има множество решения и достатъчно достъпна литература. Самият автор италианския математик Джан Франческо Малфати (1731–1807) предлага емпиричен алгоритъм на база опитни данни.

В представеното решение, за конструиране окръжности на Malfatti, водещо е наличие на възможност за практическа проверка на всяка стъпка и достъпност на описанието. 

В произволен триъгълник ABC са вписани 3 окръжности, съответно с центрове O, P, Q и радиуси r1, r2, r3.  Всяка от тях едновременно се допира до две отс страните на триъгълника и до други две окръжности.

Дадени са координатите на върховете на триъгълника и могат да бъдат изчислени дължините на страните му AB, BC, CD и стойностите на ъглите му - по познати алгоритми от намиране елементи на триъгълник.

По условие всяка от страните на триъгълника се явява външна допирателна до две окръжности и следователно радиуса на окръжността в точка на допиране е перпендикулярен на страната от триъгълника.

За всеки делтоид ADOI, BFPE, GCHQ могат да бъдат изведени следните зависимости:

AD = AI; BE = BF; CG = CH - допирателни от обща точка към окръжност, алгоритъм представен в допирателна.

От правоъгълните триъгълници (всяка окръжност се допира до две от страните в триъгълника, а центъра й лежи на съответната ъглополовяща): 

r1 = AD*tan(0.5*α) = AI*tan(0.5*α)

r2 = BE*tan(0.5*β) = BF*tan(0.5*β)

r3 = CG*tan(0.5*γ) = CH*tan(0.5*γ)

Всеки от четириъгълниците DEPO, FPQG, HQOI е правоъгълен трапец - радиусът на окръжност в точката на допиране е перпендикулярен на правата допираща окръжността. Всеки от тях може да бъде разгледан като съставна фигура от правоъгълник и правоъгълен триъгълник. За правоъгълния трапец DEPO може да бъде изведено:

OP = r1 + r2; DE =2*sqr(r1*r2), т.к. дължината на единия катет е r1-r2.

По подобен начин се извеждат и: FG = 2*sqr(r2*r3); HI = 2*sqr(r1*r3)

Съставя се системата уравнения:

AD + DE + BE = AB

BF + FG + CG = BC

AI + HI + CH = AC

Чрез последователни субституции се извеждат стойностите за трите радиуса r1, r2, r3 на вписаните окръжности  на Malfatti.

Изчисляване координатите на трите центъра се извършва с използване на полярни координати, като се отчита и ъгъла на наклон на съответната страна в триъгълника спрямо абсцисната ос. Създаденото приложение ползва описания алгоритъм.

Исторически данни за задачата, както и алтернативни алгоритми за решаването й са представени в  https://en.wikipedia.org/wiki/Malfatti_circles. Интерес представлява синтетичната конструкция на Щайнер.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: точки на Ajima-Malfatti, триъгълник BCI, окръжности на Soddy, окръжности на Lucas, ос на Malfatti, радикална окръжност на Malfatti, теорема на Jonson, окръжности на Yff, окръжности на Yiu, аполониеви задачи.