теорема на Вивиани

В теорема на Вивиани (theorem Viviani) се разглеждат разстояния на вътрешна точка в триъгълник до страните му. Извежда доказателство за:  сумата от отношенията между разстоянието на вътрешна точка от триъгълник към страна отнесено към височината към същата страна е равно на 1.

ta/ha + tb/hb + tc/hc = 1, като

a,b,c - дължини страните на страните в референтния триъгълник;

 ha,hb,hc -дължини на височините;

ta,tb,tc - разстояния между вътрешна точка T и съответната страна на триъгълника. 

Частен случай в теоремата: ако точка принадлежи на равностранен триъгълник или лежи на негова страна то сумата от разстоянията между точката и страните в триъгълника е равна на дължината на височината в същия триъгълник.

При доказателството се използват лицата на отделните триъгълници с върхове вътрешната точка и два от върховете на разглеждания триъгълник.

Сумата от лицата на вписаните триъгълници е равна на лицето на триъгълника.

a*ta / a*ha + b*tb / b*hb + c*tc / c*hc

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Вивиани съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

посочват се координати на вътрешна за триъгълника точка - подход използван в точка на Чева;

в цикъл се построява поредната проекция на точката към съответната страна на триъгълника - алгоритъм представен в педален триъгълник;

в цикъл се изчислява разстоянието (ta, tb, tc) между точката и съответната страна на триъгълника - алгоритъм представен в разстояние на точка до права;

в цикъл се изчислява дължина на съответната височина (ha, hb, hc);

Извежда се алгебричната сума на отношенията между разстоянията на точката до страна към височината към същата страна. Получената сума от отношенията  се сравнява с основния извод в теорема на Вивиани.

Проверете какви биха били разстоянията до страните, ако точката съвпада с центъра на вписаната окръжност. Интересен е случая със сумата на разстоянията при равностранен триъгълник. Ако избраната точка е центъра на вписаната окръжност то равенството добива вида: 1/ha + 1/hb + 1/hc = 1/r.

Теорема на Вивиани дава възможност за изчисляване координати на трикомпонентна диаграма - в частност възпламеняемост на метана.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Карно, триъгълник полу височини, теорема на Стюарт, теорема на Чева.