окръжност на Аполоний

Окръжността на Аполоний се допира до 3-те външно вписани окръжности на произволен триъгълник.

Построяването на окръжността е пряко свързано с една от известните 8 аполониеви задачи - 3 окръжности вписани в четвърта окръжност. Задачата, очевидно е будила интерес през вековете. Рене Декарт обсъжда същата задача в писмото си до принцеса Елисавета през 1643 г. В него представя квадратно уравнение, съдържащо размерите на техните радиуси - теорема на Декарт. Фредерик Соди преоткрива същите уравнения през 1936 г. като споменава факта, че задачата не е решима в общия случай. Твърдението, че Соди ще остане последния от списъка преоткрили решение на задачата трябва да бъде приемано с голяма доза скептицизъм.

Алгоритъмът на построителната задача окръжност на Аполоний съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

в цикъл се построява поредната вътрешна ъглополовяща (ALa, BLb, CLc) от референтния триъгълник - тяхната пресечна точка е център на вписаната окръжност в референтния триъгълник;

в цикъл се построява поредната външно вписана окръжност - с център Qa, Qb, Qc определен като пресечна точка на съответната двойка външни ъглополовящи;

тяхната описана окръжност, търсената окръжност на Аполоний, има радиус Ra, определен чрез формулата:

Ra = (r² + p²)/(4*r); където:

p - полупериметър на триъгълника;

r - радиус на вписаната окръжност в референтния триъгълник;

Точка на Аполоний е пресечна точка на отсечките свързващи връх на референтния триъгълник с допирната точка на срещулежащата външно вписаната окръжност.

Съществува и вписана окръжност на Аполоний, допираща се външно до всяка от трите външно вписани окръжности.При изчисляване на координатите за нейния център и дължина на радиус се използва алгоритъм, използван при решаване на аполониеви задачи за три окръжности. 

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Декарт, теорема на Фойербах, 9-точкова окръжност, аполониеви задачи, теорема на Аполоний, триъгълник на Аполоний, точка на Аполоний.