триъгълник на Fuhrmann

Около остроъгълен триъгълник ABC е построена описана окръжност k. Построени са отсечки от симетралите ограничени от общата точка между всяка симетрала и описаната окръжност и симетричната й точка спрямо съответната страна на триъгълника. Триъгълникът на Fuhrmann има за върхове тези симетрични точки.

Линейният алгоритъм за построяване триъгълник на Fuhrmann съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за върхове на референтния триъгълник;

в цикъл се построява симетрала за всяка от страните на триъгълника;

в цикъл се изчисляват координати на пресечна точка между съответните двойки симетрала - страна на референтния триъгълник  (Ma, Mb, Mc);

построява се описаната окръжност около референтния триъгълник - на чертежа с цвят син, център т.О;

в цикъл се изчисляват координати на пресечна точка между поредната симетрала и описаната окръжност - точки Sa, Sb, Sc;

в цикъл се изчислява дължина на отсечката с крайни точки двете пресечни точки - по алгоритъм представен в дистанция;

в цикъл се изчислява координати на точка, инцидентна със съответната симетрала и на изчисленото разстояние от пресечната точка на симетралата със съответната страна на референтния триъгълник - с цвят червен точки Fa, Fb, Fc (върхове на триъгълника на Fuhrmann); 

построява се търсения триъгълник на Fuhrmann.

Описаната окръжност около построения триъгълник е окръжност на Fuhrmann.

Докажете, че пресечната точка между поредната симетрала и описаната окръжност е среда на дъгата с хорда съответната страна на референтния триъгълник. Използвайте свойство на височина към основата на равнобедрен триъгълник, както и свойство на перпендикулярни хорди в окръжност.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Прочетете допълнителен материал за: симетрала, триъгълник със среда на дъга, теорема на Mansion, описана окръжност, теорема за допирателна и хорда, окръжност на Fuhrmann.