вписан четириъгълник

Даден изпъкнал четириъгълник е вписан четириъгълник (Cyclic quadrilateral), ако върховете му лежат на една и съща окръжност.

Може да бъде формулирано по различен начин необходимото и достатъчно условие за вписан четириъгълник:

във вписан четириъгълник симетралите на страните му имат обща пресечна точка;

около четириъгълник може се опише окръжност ако съществува равенство в сумите на на двете двойки срещулежащи ъгли;

производно на предходното НДУ: даден изпъкнал четириъгълник може да бъде вписан четириъгълник, ако и само ако всеки негов външен ъгъл е равен на срещулежащия му вътрешен ъгъл - частния случай за правоъгълник/квадрат; 

Вписан четириъгълник може да бъде: квадрат, равнобедрен трапец, правоъгълен делтоид, изпъкнал четириъгълник съдържащ два правоъгълни триъгълника. За първите два е валидно и друго условие: изпъкнал четириъгълник може да бъде вписан четириъгълник, ако ъгълът между страна и диагонал е равен на ъгъла между срещулежащата страна и другия диагонал;

Алгоритъмът на построителната задача вписан четириъгълник съдържа следните стъпки:

последователно се посочват координати за три не колинеарни точки A, B, C - върхове на референтния четириъгълник;

изчислява се описаната около триъгълник с върхове A, B, C - чрез алгоритъм представен в намиране елементи на триъгълник;

посочва се 4-тата точка и се преизчисляват координатите на т.D, така че се запазва ъгъла на наклон спрямо центъра на описаната окръжност, но точката да е инцидентна с тази окръжност;

построяват се симетралите на страните му и се изчислява тяхната пресечна точка - на чертежа не са отразени;

построява се описана окръжност с изчислени координати за център т. О и дължина на радиус;

изчисляват се координати за пресечна точка на диагоналите т.Е;

в цикъл точките се свързват с отсечки - страни на търсения вписан четириъгълник.

Различен алгоритъм за построяване на вписан четириъгълник използва теорема на Талес за описана окръжност около правоъгълен триъгълник. Посочват се координати на две точки А, В за дължина на най-дългата страна и диаметър на окръжност. Построява се окръжност с радиус R = AB/2 и център т.О среда на отсечката АВ. Посочват се координати на други две точки C,D от една и съща страна на отсечката АВ. Преизчисляват се техните координати като се запазва ъгъла на наклон, а разстоянията OC = OD = R. Така всеки от върховете е инцидентен с окръжността. Същата идея е представена в задачата перпендикуляри и диагонали, в която двата диагонала са перпендикуляри на страна от вписания четириъгълник. Алгоритъмът води до същият краен резултат и ако точките C, D се намират в различни полуравнини спрямо АВ.  

Ако във вписан четириъгълник срещулежащите страни не са успоредни, то средите на двата диагонала лежат на права (права на Newton–Gauss), преминаваща през средата на отсечка с краища пресечните точки на срещулежащите страни.

Теорема на Птоломей (Ptolemy's theorem): във вписан четириъгълник произведението на дължините на двата диагонала е равни на сумата от произведенията на срещулежащите страни AC * BD = AB * CD + BC * AD.

Теорема на Брахмагупта (Brahmagupta's theorem): ако вписан в окръжност четириъгълник е с взаимно перпендикулярни диагонали, то перпендикулярът от пресечната точка на диагоналите към една от страните разполовява (разделя на две равни части) срещулежащата страна.

Ако двойката срещулежащи страни не са успоредни теоремата на секущите дава равенство в произведенията от дължини на отсечки, части от секущите.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: четириъгълник, пълен четириъгълник, теорема на Брахмагупта, едновременно вписан и oписан четириъгълник - бицентричен четириъгълник, пресичащи се хорди.