симетрала

Симетрала към отсечка е перпендикулярна права преминаваща през среда на отсечка. Вярно е и обратното твърдение - всяка точка намираща на равни разстояния от краищата на отсечка е инцидентна с нейната симетрала.

Симетрала към страна от триъгълник е права перпендикулярна на страната и преминава през нейната средна точка.

Свойства на симетрала в триъгълник:

симетралите на произволен триъгълник се пресичат в една точка;

всяка точка от симетралата на дадена отсечка е на равни разстояния от краищата на същата  отсечката, вярно е и обратното твърдение: всяка точка, която е на равни разстояния от краищата на дадена отсечка, лежи на симетралата на тази отсечка;

центърът на описаната окръжност около триъгълника е пресечната точка на симетралите;

пресечната точка на симетралите лежи в триъгълника ако е остроъгълен, в средата на хипотенузата ако е правоъгълен, извън триъгълника ако е тъпоъгълен;

пресечната точка на симетрала със страна на триъгълник съвпада с петата на медианата към същата страна. 

Построяване на симетрала с линия и пергел: от двете страни на страната чрез пергел се построяват два помощни равнобедрени триъгълника, чрез линия се свързват техните върхове. Пресечната точка на свързващата отсечка със страната на триъгълника е и пресечната точка на страна със симетрала към нея. Построяване на триъгълник по пресечни точки на симетралите и ъгъл на наклон е сравнително приятна задача.

Алгоритъм за изчисляване координати на точки от симетрала стоящи от две различни полуравнини на страна от триъгълник.

страната на триъгълника е със зададени 2 върха A(x,y), B(x,y).

дължина на страната dyl=sqr((Ax-Bx)^2 + (Ay-By)^2)

средна точка на страната (пета на медианата)  Mx = (Ax + Bx)/2; My=(Ay+By)/2

ъгъл на наклон на страната Yg= Atn((Ay - By)/(Ax-Bx) - ъгловият коефициент на страната дава тангенса на ъгъла на наклон;

Първа точка на симетралата - от първата страна:

S1x=Mx + dyl*cos(Yg - Pi/2)

S1y=My + dyl*sin(Yg - Pi/2)

Втора точка от симетралата - от втората страна:

S2x=Mx + dyl*cos(Yg + Pi/2)

S2y=My + dyl*sin(Yg + Pi/2)

Край на алгоритъма. За изчисляване данни за останалите симетрали описаните действия се повтарят в цикъл. 

Изчисляване на две точки от симетралата се налага при тъпоъгълен триъгълник.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: триъгълник, описана окръжност, височина, медиана, радикална ос.