точка на Торичели-Ферма

В задачата точката на Торичели-Ферма (Torricelli point, Fermat–Torricelli point) се разглеждат две точки като първата точка на Ферма е пресечната точка на отсечки свързващи връх на референтния триъгълник със срещулежащия връх на съответния външен равностранен триъгълник.

Разглежданите точки на Ферма са условно наречени първа и втора и се конструират по сходен начин, основната разлика е посоката на равностранните триъгълници. Подобна конструкция има в двете точки на Наполеон - разгледани в теорема на Наполеон.

Алгоритъмът на построителната задача точка на Торичели-Ферма съдържа следните стъпки:

посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, C за върхове на референтния триъгълник;

в цикъл към всяка страна на триъгълника се построява равностранен триъгълник - на чертежа ABC', BCA', ACB';

в цикъл се построяват отсечки свързващи връх на референтния триъгълник със срещулежащ връх на съответния равностранен триъгълник - на чертежа AA', BB', CC';

изчисляват се координатите на тяхната пресечна точка F- търсената точка на Торичели-Ферма.

По сходен алгоритъм се конструира и втората точка на Ферма F2, но върховете на равностранните триъгълници са насочени към референтния триъгълник. Двете точки са в списъка на Clark Kimberling съответно под номера X(13) - точка на Ферма-Торичели и X(14) - втора точка на Ферма.

Двете изодинамични точки са изогонално спрегнатите на двете точки на Ферма и обратно.

Точката на Торичели-Ферма е точката, в която общото разстояние до трите върха на триъгълника (FA+FC+FC) е минимално. Твърдението е валидно за триъгълници, чийто най-голям ъгъл е под 120°, над тази граница точката на Ферма не принадлежи на референтния триъгълник.

Точката на Торичели-Ферма е общата пресечна точка на трите описани окръжности около равностранните триъгълници. 

Окръжността на Lester е инцидентна едновременно с: първа и втора точка на Fermat, с центъра на описаната окръжност около референтния триъгълник и с центъра на неговата 9-точкова окръжност.

Други точки с подобна релация към елементи на триъгълника са: център на вписана окръжност - еднакво разстояние до страните на триъгълника, център на описана окръжност - еднакво разстояние до върховете на триъгълника, ортоцентър минимално разстояние до страните или техните продължения.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: изодинамични точки, окръжност на Ферма, ос на Ферма, теорема на Наполеон.