точка на де Лонгчампс

Точката на де Лонгчампс (de Longchamps point) за произволен триъгълник  е симетрична на ортоцентъра спрямо центъра на описаната окръжност.

Името на точката се свързва с името на френския математик Gaston de Longchamps. Точката е записана под номер  X20 в списъка на Kimberling. Съществуват няколко алгоритъма за определяне на нейните координати:

като симетрична точка на ортоцентъра спрямо центъра на описаната окръжност;

като ортоцентър на антикомплементарния триъгълник;

като пресечна точка на права на Soddy с права на Ойлер.

Различните алгоритми за построяване точка на де Лонгчампс дават основание точката да се дава като пример за използване на конкурентни прави. За всеки от алгоритмите се приема по подразбиране, че референтният триъгълник е вече построен.

Алгоритъмът на построителната задача точка на де Лонгчампс като симетрична точка на ортоцентъра относно центъра на описаната окръжност съдържа следните стъпки:

изчисляват се координати за център т.О, дължина на радиус и се построява описана окръжност;

в цикъл се построява съответната височина;

изчисляват се координати на т. Н, ортоцентър като пресечна точка на височините;

построява се права на Ойлер - на чертежа използвани означения са т. М за медицентър, т.9 за център на 9-точкова окръжност;

изчислява се дължина на отсечката ОН (дължина на радиус вектора), както и ϕ ъгъла на наклон спрямо абсцисната ос;

използвайки полярни координати с начало т.О, ъгъл на наклон ϕ и изчислената дължина на радиус вектора OH се построява търсената точка на  де Лонгчампс.

Алгоритъм за построяване точка на де Лонгчампс като пресечна точка на права на Soddy с права на Ойлер:

построява се права на Ойлер - на чертежа за образуващите я колинеарни точки са използвани означения т. Н -  ортоцентър, т.9 - център на 9-точкова окръжност, т.О - център на описаната  окръжност, неозначената точка  в цвят охра е медицентъра на триъгълника;

в цикъл се построяват трите окръжности на Soddy - това са три външно допиращи се окръжности, всяка от тях се има за център връх на триъгълника;

построяват се двете допълнителни окръжности - с S1 е означен центъра на покриващата описана окръжност, с S2 - външно допиращата се окръжност;

построява се права на Soddy инцидентна с двата центъра;

изчисляват се координати за пресечна точка на двете построени прави - търсената точка на де Лонгчампс.

Алгоритъм за построяване точка на де Лонгчампс като ортоцентър на антикомплементарния триъгълник:

построява се антикомплементарен триъгълник XYZ на референтния ABC - всяка страна от антикомплементарния триъгълник е успоредна на страна от референтния триъгълник и преминава през срещулежащия му връх.

в цикъл се построява съответната височина съответно с пета Hx, Hy, Hz;

изчисляват се координати на т. Н, ортоцентър като пресечна точка на височините - търсената точка на де Лонгчампс.

На чертежа е представена описаната окръжност около референтния триъгълник, която се явява 9-точковата окръжност за антикомплементарния триъгълник, правата на Ойлер за референтния триъгълник е с червен цвят.

Проверете/оборете твърдението: OL = OH - точката на Longchamps е огледално симетрична на ортоцентъра спрямо центъра на описаната окръжност.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност на de Longchamps, права на de Longchamps.