теорема на Талес - описана окръжност

Теорема на Талес за описана окръжност гласи:  даден триъгълник е правоъгълен, ако центърът на описаната му окръжност лежи на една от страните му.

Едно от следствията на теоремата е: медиана към към хипотенуза в правоъгълен триъгълник е с дължина радиуса на описаната окръжност. Един от начините за нагледно доказателство на теоремата е чрез равнобедрен триъгълник. Построява се височина  към основата. От петата на височината се построява медиана към бедрото на триъгълника. С център петата на медианата и с радиус нейната дължина се построява окръжност. Три точки от референтния триъгълник ще лежат на окръжността:  петата на височината към основата (връх на правия ъгъл в новия триъгълник), върха срещу основата и единия връх от основата.

Позиция на ортоцентър на триъгълник: при остроъгълен триъгълник - ортоцентърът принадлежи на триъгълника, при правоъгълен триъгълник е връх (на правия ъгъл) от триъгълника, при тъпоъгълен триъгълник е извън триъгълника. 

Позиция на център на описана окръжност около триъгълник: при остроъгълен триъгълник лежи в триъгълника, при правоъгълен принадлежи на страна от триъгълника, при тъпоъгълен центърът на описана окръжност е извън триъгълника.

Приложения свързани с теорема на Талес.

Построяването на окръжност без пергел. Входни данни: координати на две неподвижни точки за диаметър, молив и конец с дължина надвишаваща диаметъра на окръжността. Двата края на конеца се закрепват в избраните точки, като се движи в полукръг моливът държи непрекъснато конеца изпънат в две прави. В описания случай няма явно дефиниран център, дължината на хипотенузата в правоъгълния триъгълник е по-голяма от разстоянието между двете точки, а дължината на конеца е сумата от дължините на двата катета в правоъгълния триъгълник.

Намиране център на окръжност (пергел и транспортир) - връх на прав ъгъл се поставя върху разглежданата окръжност, изчертават се рамената на ъгъла до пресичане на окръжността. Двете пресечни точки се свързват - разстоянието между тях е с дължина диаметъра на окръжността.

Описаните по-горе стъпки се повтарят, като върха на правия ъгъл се поставя върху друга точка от окръжността.

Означава се пресечната точка на двата диаметъра - това е и търсения център на окръжността.

Интересна задача свързва теорема на Талес с теорема на Питагор - ако на всяка от страните на правоъгълен триъгълник се построи окръжност с диаметър съответната страна, то общата пресечна точка на трите окръжности е върхът на правия ъгъл. Втората пресечна точка на двете окръжности, с център средата на катетите, принадлежи на хипотенузата и съвпада с петата на височината към нея.

Доказателство за горното твърдение би могло да се изведе чрез синусова теорема за хипотенузата, всяка от окръжностите с диаметър дължина на катет по дефиниция е инцидентна с върха н а правия ъгъл.

Алгоритъмът на построителната задача за нагледно доказателство теорема на Талес - описана окръжност съдържа следните стъпки:

посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, C;

за построяване на правоъгълен триъгълник се ползва алгоритъм за построяване на перпендикуляр от точка към права: изчислява разстоянието между 2-та (връх С) и 3-та въведена точка и с начало 2-та точка, дължина на радиус вектор вече изчисленото разстояние и ъгъл на наклон сумата от ъгъла на наклон на отсечката AС + π/2 се построява отсечка BC перпендикулярна на AC.

в цикъл последователно се построява поредната окръжност с диаметър дължина на съответната страна и център средата на същата страна;

изчисляват се координати за пресечната точка на двете окръжности - на черетежа Hc.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Прочетете допълнителен материал за: теорема на Питагор, описана окръжност, обобщена теорема на Талес -  за подобни триъгълници: успоредни прави, пресичащи рамената на ъгъл, отсичат от тях пропорционални отсечки.