теорема на Стюарт

Теоремата на Стюарт (Stewart's theorem) се отнася за триъгълник и отношение между дължините на страните, чевиана и отсечките на които се разделя срещулежащата страна. Получават се три отделни случая, петата на чевианата лежи на срещулежащата страна или на едно от продълженията й.

Доказателството на теоремата се основава на косинусовата теорема. За триъгълник от равнината ABC със страни AB=c;  BC=a; CA=b и точка D, лежаща на страната BC. За AD = d, BD = m и  DC = n, то:

 a*(d² + m*n) = m*b² + n*c², ако т. D лежи между точките B и C, ако BC = BD + DC;

 a*(d² - m*n) = m*b² - n*c², ако т. D лежи отвъд т. C, ако  DB > BC;

 a*(d² - m*n) = -m*b² + n*c², ако т. D лежи отвъд т. B, ако DC > BC;

Алгоритъмът на построителната задача нагледно доказателство за теорема на Стюарт съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

изчисляват се дължини на страните (a, b, c) от референтния триъгълник - по алгоритъм представен в намиране елементи на триъгълник;

посочват се координати за допълнителна точка т.N - точка на Чева;

с цел по-добра ориентация програма автоматично построява пета на медиана към съответна страна - на чертежа т.М;

автоматично се изчисляват координати за пресечна точка т.D на най-близката страна на референтния триъгълник с отсечката свързваща срещулежащия връх и посочената точка N;

автоматично се извършва проверка дали т.D принадлежи на страна от триъгълника или е инцидентна с нейни продължения - по алгоритъм разстояние между точка и отсечка представен в дистанция;

в цикъл се изчисляват дължини на всички отсечки участващи в изведените равенства;

последователно се проверява всяко едно от равенствата в теорема на Стюарт за определяне позицията на т.D.

Можете да разгледате сорс код за прилагане теорема на Стюарт по входни данни от файл.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Аполоний - частен случай на теорема на Стюарт, косинусова теорема, теорема за ъглополовящата, теорема на Менелай, теорема на Вивиани, теорема на Чева.