теорема на Пърсер

Теорема на Пърсер (Purser's Theorem) разглежда сума от произведения между дължина на страна и дължина на допирателна от срещулежащия връх. Съществува произволен триъгълник ABC с дължини на страните съответно a,b,c. Около триъгълника е построена описана окръжност. Построена е и втора окръжност, която се допира до описаната окръжност, както и допирателни от върховете на триъгълника към втората окръжност. Дължините на допирателните са означени съответно с t (от връх A), u (от връх B) и v (от връх C). Теоремата на Пърсер извежда следното равенство: най-голямото произведение от дължини на страна и съответната допирателна е равно на сумата от останалите две произведения.

a*t = b*u + c*v за a>b>c

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Пърсер включва следните стъпки:

посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, C и се построява референтния триъгълник;

построява се неговата описана окръжност с център т.О и радиус R  - координатите на центъра и дължината на радиуса се изчисляват по алгоритъм представен в намиране елементи на триъгълник;

посочват се координати на допълнителната 4-та точка т.Q, така че да е външна за описаната окръжност - проверката е по алгоритъм представен във взаимно разположение на окръжности;

построява се втората окръжност с център т.Q, така че да има допирна точка (т.Т) с описаната окръжност;

в цикъл, последователно от всеки връх на референтния триъгълник, се построява допирателна към втората окръжност (на чертежа с цвят червен).

в цикъл, последователно се изчисляват дължините на страните (a, b, c) на референтния триъгълник, и дължините на допирателните (t, u, v) към втората окръжност - по алгоритъм разстояние между две точки;

извършва се сортиране на дължините на страните - по алгоритъм представен в сортиране пряка селекция;

извършва се проверка за изведеното равенство от теорема на Пърсер.

Извеждат се координатите на въведените и построените точки, както и произведенията от дължина на страна и съответната допирателна.

Подобен алгоритъм се разглежда в теорема на Casey (Casey's Theorem) - случай, в който четири окръжности (с център Оa, Оb, Оc, Оd) се допират (вътрешно) до окръжност с център О.

В теорема на Помпей (Pompeiu's theorem) се разглежда описан равностранен триъгълник от равнината и т.М от същата равнина, така че разстоянията MA, MB, MC образуват евентуално страни на дегенериран триъгълник - дължината на едната страна е равна или по-голяма от сумата от дължините на другите две страни.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност, теорема на Pompeiu, теорема на Casey, описана окръжност.