теорема на Птоломей

Двете теореми на Птоломей се отнасят за вписан в окръжност четириъгълник. 

Нека четириъгълника ABCD със страни a,b,c,d и диагонали e, f е вписан в окръжност.

Първата теорема на Птоломей гласи: произведението от диагоналите на вписан четириъгълник е равно на сумата от произведенията на срещулежащите му страни.

e*f = a*c + b*d

Втората теорема на Птоломей гласи: отношението между диагоналите на вписан четириъгълник е равно на отношението между сумата от произведенията на страните, пресичащи се в краищата на съответния диагонал:

e/f= (a*b + c*d)/(a*c + b*d)

Обратното твърдение също е вярно: ако сумата от произведенията на двете двойки срещулежащи страни в 4-ъгълник е равна на произведението от дължините на неговите диагонали, то четириъгълникът може да бъде вписан в кръг.

Алгоритъмът на построителната задача за представяне на равенствата в теорема на Птоломей съдържа следните стъпки:

Потребителят да посочва координати за върхове на четириъгълник и програмно да се извеждат равенствата за всяка от описаните две теореми на Птоломей.

посочват се координати на 4 точки, като нито една комбинация от 3 не са колинеарни точки;

по първите 3 посочени точки се определят координати за център и дължина на радиус на описаната окръжност;

въведената позицията на 4-тата точка се премества по отсечката с краища: въведените координати и вече изчисления център на окръжността;

построява се вписан четириъгълник;

построяват се диагоналите на четириъгълника.

Теоремата може да се използва, за да се определи дали четири точки са коциклични, дали са инцидентни с дадена окръжност.

Теоремата на Casey доказва общия случай, в който четири окръжности (с център Оa, Оb, Оc, Оd) се допират вътрешно до окръжност с център О и извежда подобно равенство като дължините на страните са заменени с дължините на външните допирателни към съответните двойки окръжности.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Брахмагупта, теорема на Brocard, японска теорема, теорема на Casey, аксиома на Pasch.