теорема на Помпей

В теорема на Помпей (Pompeiu's theorem) се разглежда вписан равностранен триъгълник и т.М от същата равнина, така че разстоянията MA, MB, MC образуват евентуално страни на дегенериран триъгълник - дължината на едната страна е равна или по-голяма от сумата от дължините на другите две страни. Разглежданите случаи са два:

частен: около равностранен триъгълник ABC е описана окръжност и т.М е инцидентна с дъгата между два върха на триъгълника A, B. Съществува равенство в разстоянията (дължините на отсечките) МC = МA + МB. Същият смисъл има и сумата на разстоянията на т. М,  инцидентна с  описаната окръжност около равностранен триъгълник ABC,  с всеки от върховете на триъгълника (MA+MB+MC) е равна на удвоеното максимално разстояние между точката и връх на триъгълника 2*max(AB,AC,BC). Това е и основният извод в теоремата на Van Schooten (Van Schooten's theorem).

по-общ: релацията за разстоянията между т.М от равнината  върховете на равностранен триъгълник ABC от същата равнина вече включва по-малко или равно. Така разстоянията между трите върха дават страни на изроден триъгълник в случай, че точката лежи на описаната окръжност.

За по-общия случай (разстоянието между точката и центъра на описаната окръжност е по-голямо от нейния радиус) основно разпространение са добили две конструкции:

в https://en.wikipedia.org/wiki/Pompeiu%27s_theorem залагат на разстояние между т.М и връх на равностранния триъгълник по-малко от дължината на триъгълника ABC и се построява нов равностранен триъгълник.

в https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Помпею доказателството се основава на: теорема на Птоломей и теорема за допирателна и секуща.

В следващите редове е представени стъпките на алгоритъма на тази построителна задача:

посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, Q;

изчислява се разстоянието AB за страна на равностранния триъгълник - по алгоритъм разстояние между две точки;

построява се равностранния триъгълник ABC;

изчисляват се координати за център т.О, и радиус R на описаната окръжност;

изчислява се разстоянието ОQ - дължина на вектора и ъгъл на наклон  ϕ;

изчисляват се параметричните координати на т.М - с начало т.О, радиус вектор R и изчисления ъгъл на наклон ϕ;

построява се окръжност с център т.Q и дължина на радиус r = OQ - R;

в цикъл последователно от всеки връх на референтния триъгълник с построява допирателна (AD, BE, CF) в посочените точки;

Доказателството за изведените (не)равенства в теоремата на Помпей е основано на теорема на Птоломей и изведеното равенство в теорема за допирателна и секуща: 3 от 4-те допиращи окръжности във вписания четириъгълник се израждат в точки, но се запазва само 4-тата окръжност представена в даденото обобщение на теоремата на Помпей. В случая вписаният четириъгълник е изроден в равностранен триъгълник с дължина на единия диагонал страна на триъгълника.

Общият случай на задачата е разгледан в теоремата Möbius-Pompeiu.

Аналогия с теорема на Мавло (Mavlo's theorem): произволен триъгълник отсича от своята 9-точкова окръжност три дъги, такива че дължината на най-голямата от тях е равна на сумата от дължините на останалите две.

Теорема на Пърсер (Purser's Theorem) разглежда сума от произведения между дължина на страна и дължина на допирателна от срещулежащия връх. 

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност, точки на Фойербах, точка на Lemoine, теорема на Van Schooten, теорема на Purser, теорема на Brahmagupta-Mahavira, теорема на Мавло.