теорема на Питагор

Теорема на Питагор (theorem of Pythagoras, Pythagorean theorem) е значима теорема в евклидовата геометрия. Дава връзка между дължините на страни в правоъгълен триъгълник.

Фактът за големия брой различни доказателства на питагоровата теорема представени през вековете, както и използването й в други теореми  говори еднозначно за нейната популярност и значимост.

Набиращото популярност доказателство с подобни триъгълници съдържа следните стъпки.

В правоъгълния триъгълник ABC е построена височина CH хъм хипотенузата. Двата правоъгълни триъгълници ACH и BHC са подобни с референтния триъгълник ABC - имат общ остър ъгъл. Така ACH ≈ BCH ≈ ABC. При извеждане на известната формула се използва пропорция между страните на трите подобни триъгълника.

1) от подобието ACH ≈ ABC следва: AC/AB = AH/AC, AC² = AB*AH;

2) от подобието BCH ≈ ABC следва: BC/AB = BH/BC, BC² = AB*BH;

Двете уравнения се събират:

AC² + BC² = AB*AH + AB*BH;

AC² + BC² = AB*(AH + BH);

AC² + BC² = AB² - търсеното доказателство.

Основа за множество задачи е и равенството CH² = AH*BH изведено от същите пропорции. Една от задачите е обратната теорема на Питагор също свързана с правоъгълен триъгълник и височина към хипотенузата.

Чрез питагорова теорема се извежда и основното тригонометрично тъждество sin²(α) +  cos²(α) = 1.

За правоъгълния триъгълник ABC с катети AC, BC и хипотенуза AB:

sin(α) = AC/AB;  sin²(α) = AC²/AB²;

cos(α) =  BC/AB;  cos(α)² = BC²/AB²;

sin(α)² + cos(α)² = (AC² + BC²)/AB²;

sin(α)² + cos(α)² = 1

Конструирането на втория чертеж е опит за обединение на няколко различни доказателства при спазване на следните изисквания:

еднакви правоъгълни триъгълници са: ▲ABC ≅ ▲ABP ≅ ▲BND ≅ ▲NMK ≅ ▲AMF;

равнобедрен правоъгълен триъгълник ANM (AM = MN = AB);

еднакви квадрати със страна AB: AIJB (център т.Q),  ABNM (център т.T);

построени квадрати външно към катетите AFGC, BDEC;

описан правоъгълен трапец ANKF включващ правоъгълните триъгълници ▲ANM,▲NMK ≅ ▲AMF

описана окръжност около референтния триъгълник с център т.О, диаметър AB = TQ - отсечка от симетрала към хипотенузата;

CH височина към хипотенузата, инцидентна с KU;

CQ ъглополовяща на правия ъгъл, перпендикулярна на FD (CQ ⊥ FD) - диагонали в двата малки квадрата. Доказателството е на основа твърдение от Елементи на Евклид: ако два прави ъгъла имат общо рамо, то другите две рамена са инцидентни с обща права. Това е съществен елемент при извеждане  доказателствата на Леонардо да Винчи, Хюйгенс, вариантите с тях, както и доказателство с ъглополовяща.

Съществува обособено множество задачи под името доказателство на питагоровата теорема. То съдържа над 2000 задачи и броят им расте. Малка част от тях са:

в доказателство на Rufas се разглежда описан квадрат PDKF, вписаните в него квадрат ABNM със страна AB, построените външно еднакви правоъгълни триъгълници ▲ABP ≅ ▲BND ≅ ▲NMK ≅ ▲AMF ≅ ▲ABC;

в доказателство на Гарфийлд (J.A. Garfield) се разглежда правоъгълен трапец ANKF с основи AF = AC, KN = BC и височина KF = FM + KM = BC + AB;

в доказателство на Табит се разглежда петоъгълник ABDKF с дължина на страни: AB, BD = BC, DK = DE + KE = BC + AC, FK = GF + GK =  BC + AC, AF = AC.

доказателство на Евклид (стола на булката) е първото от двете доказателства на Евклид, публикувано в Елементи.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Евклид, доказателство на Табит, Гарфийлд, доказателство на Сократ, доказателство на Bhaskara.