теорема на Пап

Теоремата на Пап (Pappus's theorem) за шестоъгълника се явява основна теорема в проективната геометрия. Разглеждат се координати на точки и прави в равнината.

Нека  k и m са две прави в равнината. Върху всяка  права са построени по три различни точки. Върху правата k: А, В, С , върху правата m: А', В', С'. Тогава пресечните точки на отсечките AB' и А'В, BC' и В'С, С А' и С'А лежат на една и съща права. В теоремата на Пап фигурират само прави, отсечки и техните крайни и пресечни точки и твърденията в нея остават истинни за произволно проективно преобразуване.

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Пап съдържа следните стъпки:

посочват се координати на две отделни групи (A,B,C  и A',B',C') от 3 колинеарни точки;

построяват се отсечките AC и A'C';

в цикъл се построява отделните комбинации от отсечки между двете групи точки - AB', AC', BA', BC', CA', CB';

в цикъл се изчисляват координати за пресечна точка на всеки две от изброените отсечки;

Чрез алгоритъм за ориентирано лице се доказва, че трите пресечни точки са колинеарни - основното твърдение в теорема на Пап.

Теореми разглеждащи колинеарни точки:

теорема на Паскал (пресечните точки на срещулежащите страни на всеки шестоъгълник, вписан в конично сечение, лежат на една права),

теорема на Дезарг (ако два различни триъгълника ABC и A'B'C' са разположени в равнината, така че правите, свързващи съответните им върхове преминават през една точка, то трите точки, в които се пресичат продълженията на трите двойки съответни страни на триъгълниците лежат на една права),

теорема на Менелай - нека точките F, D и E лежат на правите за съответните страните AВ, BС, АC на даден триъгълник ABC и делят тези страни съответно в отношение k:m:n. Необходимо и достатъчно условие точките F, D, E да лежат на една права е k*m*n = 1.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Разгледайте допълнителен материал за: колинеарни точки, теорема на Менелай, теорема на Дезарг.