теорема на Ойлер

Теоремата на Ойлер (в геометрията), Euler's_theorem представя междуцентровото разстоянието d между вписаната и описаната окръжност около триъгълника с равенството: d² = R*(R-2*r), където d е междуцентровото  разстояние, R - радиус на описаната окръжност, а r  е радиус на вписаната в триъгълника окръжност.

Радиус на вписана окръжност: r = 2S/(a+b+c) = S/p, където S е лице на триъгълника, а p неговия полупериметър.

Радиусът  на описаната окръжност лесно може да бъде определен от формулите:

2*R = a/sin(A) - синусова теорема;

R = a*b*c / 4*S, където a, b, c са дължини на страните, а S лице на триъгълника;

или от формулата  r*R = abc / 4p, където p е полупериметър на триъгълника.

Друга интересна зависимост между радиусите на окръжностите в триъгълник е:

Ra + Rb + Rc = r + 4R, където Ra, Rb, Rc са радиусите на трите външно вписани окръжности.

Нагледно доказателство за теоремата на Ойлер може да се извърши чрез построителна задача по следния алгоритъм:

посочват се координати на 3 не колинеарни точки;

построява се триъгълник ABC с върхове въведените точки;

изчисляват се координати за център на вписана окръжност -  пресечна точка на ъглополовящите в референтния триъгълник, т.Q; 

изчислява се радиус на вписаната окръжност (r) - като перпендикуляр от точка (центъра на вписаната окръжност) към права (страна на триъгълника);

изчисляват се координати за център на описана окръжност  - центърът на описаната окръжност около триъгълник се определя от пресечната точка на симетралите на страните  т.O;

изчислява се радиус на описана окръжност (R) като разстояние между две точки - центъра на описаната окръжност и връх на референтния триъгълник;

изчислява се разстоянието между двата центъра и се сравнява с изчислената стойност от изведената формула на Ойлер.

Следствие от поризма на Poncelet е, че е възможно построяване на съществен брой триъгълници имащи както еднакви радиуси за вписаната окръжност, на описаната около тях окръжност, както и еднакво междуцентрово разстоянието за двете окръжности. 

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: права на Ойлер, 9-точкова окръжност, радиус, ъглополовяща, симетрала, теорема на Карно, теорема на Fuss.