теорема на Менелай

В теорема на Менелай се разглежда триъгълник и пресичаща го права: ако в триъгълника ABC права пресича продължението на страната AB в т. F, страната BC в т. D, а страната AC в т.E, тогава:

(AF/BF)*(BD/DC)*(CE/EA) = 1

Друг прочит за теорема на Менелай би изглеждал така: нека точките F, D и E лежат на правите за съответните страните AВ, BС, АC на даден триъгълник АВС и делят тези страни съответно в отношение k:m:n. Необходимо и достатъчно условие точките F, D, E да лежат на една права е k*m*n = 1.

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Менелай съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C  се построява референтния триъгълник;

посочват се координати на допълнителна точка (точка на Чева), принадлежаща на триъгълника;

в цикъл последователно се изчисляват координати за пета на всяка чевиана - на чертежа са представени т. D и т.E;

изчисляват се координати на пресечна точка на права инцидентна с т.D, т.Е и продължението на страната AB - чертежа т.F';

в цикъл последователно се изчисляват дължини на отсечките ((AF, BF, BD, DC, CE, EA) по алгоритъм представен в разстояние между две точки;

С вече изчислените дължини на отсечките се извършва проверка на изведеното равенство от теорема на Менелай

В примерния проект, нито една от точките не съвпада с връх на триъгълника, което е и част от началните условия за теоремата на Менелай.

Примери за отношения на отсечки в триъгълник:

В теорема на Чева се разглежда триъгълник и права : ако през всеки от върховете на триъгълник ABC преминава права, пресичаща противоположната му страна (или тяхното продължение) съответно в точките D, E и F и ако трите прави се пресичат в една точка P, то е в сила равенството:

(AF:BF)*(BD:CD)*(CE:AE) = 1.

Изведеното равенство в теорема на Чева е в сила и ако общата точка P лежи извън триъгълника.

В теорема на Стюарт се разглежда триъгълник и отношение между дължини на страни, чевиана и отсечките на които се разделя срещулежащата страна. Получават се три отделни случая, петата на чевианата лежи на срещулежащата страна или на едно от нейните продължения.

Доказателството на теоремата се основава на косинусовата теорема. За триъгълник от равнината ABC със страни AB=c;  BC=a; CA=b и точка D, лежаща на страната BC. За AD = d, BD = m и  DC = n, то:

Чрез теорема на Стюарт изведете доказателство за теорема на Менелай.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Чева, триъгълник, теорема на Стюарт.