теорема на Драгомани

Теорема на Драгомани гласи: центърът на вписаната окръжност, центърът на външно вписаната окръжност и съответните два върха на референтния триъгълник са коциклични точки. Центърът на 3-те окръжности лежи на описаната окръжност и е пресечна точка между вътрешна ъглополовяща и симетрала на съответната срещулежаща страна.

Доказателство: За триъгълник ABC са построени вътрешните ъглополовящи с обща пресечна точка  т.Q - център на вписаната окръжност. Построени са двойката външни ъглополовящи от върхове т.B, и т.C с пресечна точка т.Qa - център на външно вписана окръжност, допираща се до страната BC / или нейно продължение. Двата триъгълника QBQa и QCQa имат обща страна OQa и са правоъгълни - имат вътрешен ъгъл с рамена ъглополовящи  на вътрешен ъгъл и прилежащия му външен ъгъл на триъгълника ABC.

Друг подход е с ползване на двата срещулежащи ъгъла QBQa и QCQa - те са прави ъгли. От определение за вписан четириъгълник - около четириъгълник може се опише окръжност ако съществува равенство на сумите от двете двойки срещулежащи ъгли.

 От теорема на Талес - описана окръжност центърът на описана окръжност около правоъгълен триъгълник лежи на неговата хипотенуза. Твърдението за група от 4 коциклични точки е валидно и за останалите две външно вписани окръжности.

Доказателство за средата на хипотенузата OQa и медианата (COa, BOa) към нея се разглеждат в:

теорема на Мансион (theorem of Mansion): всяка отсечка, свързваща център на вписана с център на външно вписана окръжност се дели на две равни части от описаната окръжност около същия триъгълник.

лема на тризъбеца (trillium theorem, trident lemma) разглежда равенство на отсечки/хорди в описаната около триъгълник окръжност, в случая медиана към хипотенуза в двата триъгълника и отсечка от вътрешна ъглополовяща от център на вписаната окръжност до пресечната й точка с описаната окръжност.

Вярна е и обратната теорема: ако в произволен триъгълник ABC от равнината се построи окръжност с център пресечната точка на вътрешна ъглополовяща с описаната окръжност и диаметър разстоянието между центъра на вписаната окръжност и центъра на съответната външно вписана окръжност, то двата върха на триъгълника, образуващи страна на референтния триъгълник (или нейни продължения) допираща се едновременно до двете окръжности са инцидентни с конструираната окръжност. Задачата е от областта на занимателната геометрия.

Трите пресечни точки на ъглополовяща с описаната окръжност (на чертежа т.Oa, т.Ob, т.Oc) са върхове на вписания в същата описана окръжност триъгълник на Драгомани.

Следствия от теорема на Драгомани:

пресечната точка на вътрешната ъглополовяща с описаната окръжност разполовява отсечката свързваща център на вписаната окръжност с център на съответната външно вписана окръжност - на чертежа отсечките IQa, Iqb, IQc;

всяка страна от триъгълника на Драгомани разполовява отсечките връх на триъгълника : центъра на вписаната окръжност т.I - на чертежа отсечките AI със среда т.D, BI със среда т.E, CI със среда т.F;

всяка двойка от трите прави разполовяващи съответните отсечки връх на триъгълника: центъра на вписаната окръжност са конкурентни с пресечна точка връх на триъгълника на Драгомани;

отсечките свързващи връх на референтния триъгълник с връх на триъгълника на Драгомани са конкурентни с обща пресечна точка центъра на вписаната окръжност в триъгълника;

всяка вътрешна ъглополовяща на референтния триъгълник е и радикална ос за съответната двойка окръжности от  теорема на Драгомани;

за всяка от трите окръжности в теоремата на Драгомани съществуват 4 коциклични точки.

центърът на всяка от трите окръжности е и средна точка на дъгата от описаната окръжност заключена между двата върха на референтния триъгълник.

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Драгомани съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C  се построява референтния триъгълник;

в цикъл се изчисляват координати за пета на поредната ъглополовяща;

изчисляват се координати за център (пресечна точка на ъглополовящите т.I), дължина на радиус и се построява вписаната окръжност;

в цикъл се изчисляват координати за център (т.Qa, т.Qb, т.Qc ), дължина на радиус и се построява поредната външно вписана окръжност;

построява се описаната окръжност с център т.О;

в цикъл се построява поредната окръжност по три точки център на вписаната окръжност и два върха на референтния триъгълник;

чрез алгоритъм разстояние между две точки и алгоритъм за изчисляване на ориентирано лице последователно се проверяват изброените следствия в разглежданата теорема на Драгомани.

Разликата в разстоянията между съответния център на построената окръжност от теоремата и пресечната точка на съответните симетрала и ъглополовяща (върхове на триъгълник BS) влиза в границите на допустимата изчислителна грешка, но двете точки са с различни координати.

Подобен подход за построяване се среща и в:

теорема на Коснита (Kosnita's theorem): ако описаната около произволен триъгълник ABC окръжност е с център O, а описаните окръжности около триъгълниците OBC, OCA и OAB са съответно с центрове A’, B’ и C’, то отсечките AA', BB' и CC' се пресичат в една и съща точка, наречена точка на Коснита.

теорема SCI: трите окръжности инцидентни с връх на триъгълника и пети на двете медиани от раменете на ъгъла със същия връх са с равни радиуси и са инцидентни с центъра на описаната окръжност;

теорема на Джонсън (Johnson's theorem): ако в остроъгълен триъгълник се построят трите триъгълника на Johnson HAB, HBX, HCA (два различни върха и ортоцентъра H), то 3-те описани окръжности около тези триъгълника се пресичат в обща точка  ортоцентъра H и имат еднакви радиуси;

триъгълник на Honsberger: с върхове център на окръжности, описани около триъгълниците MAB, MAC, MBC с общ връх медицентъра M на основния триъгълник ABC и два от върховете му;

окръжност на Terquem: с върхове описаните окръжности около триъгълниците ABE, BCE, ACE, където точките A, B, C са върхове на референтния триъгълник,а т.E е център на 9-точковата окръжност за същия триъгълник;

Примерни задачи с основа теорема на Драгомани - докажете че: 

върховете в триъгълника на Драгомани са среда на съответната дъга от описаната окръжност - алгоритъм представен в средна точка на дъга;

двойките отсечки OaOc и IB, ObOc и IA, ObOa и IC  са перпендикулярни отсечки; 

всеки от изброените триъгълници IBOa, IBOc, IAOb, IAOc, ICOb, ICOa е равнобедрен триъгълник;

всеки от изброените триъгълници IBQa, ICQа, IAQb, ICQb, ICQa ,ICQb е правоъгълен триъгълник;

всеки от четириъгълниците I-Oa-B-Oc, I-Oc-A-Ob, I-Oa-C-Ob е ортодиагонален четириъгълник;

четириъгълникът I-Oa-B-Oc е описан четириъгълник;

По дадена дължина на радиус на описаната окръжност и  координати за център на вписана и описана окръжност изчислете лице на триъгълника OIOa.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: триъгълник на Драгомани, теорема на Коснита, теорема SCI, окръжност на Terquem, триъгълник на Honsberger, Драгомани.