теорема на Декарт

Теоремата на Декарт (Descartes' theorem) в геометрията гласи: 4 допиращи се окръжности удовлетворяват квадратно уравнение, съдържащо размерите на техните радиуси.

(k1+k2+k3+k4)*(k1+k2+k3+k4) = 2*(k1*k1+k2*k2+k3*k3+k4*k4)

Рене Декарт обсъжда тази задача в писмото си до принцеса Елисавета (Elisabeth of the Palatinate) през 1643 г. Фредерик Соди (Soddy circles - The Kiss Precise) преоткрива същите уравнения през 1936 г. 

Изводите в теоремата на Декарт  се основава на термина кривина k - в случая реципрочна стойност на радиус k = 1/R. Основните аполониеви задачи разглеждат случая за три не вписани една в друга окръжнисти.  Разглежданата теорема дава решение за две от тях (покриващата и външно вписаната окръжност), но само за радиуса на допълнителната окръжност. 

Задачата допуска две решения за 4-тата окръжност - на чертежа са дадени и двете окръжности с различен цвят и вид пунктирана линия. 

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Декарт съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C за център и стойности за дължина не непременно равни радиуси се построява трите основни окръжности;

построяват се трите референтни окръжности;

съставя се система от три квадратни уравнения, описващи трите референтни окръжности - подход прилаган при решаване на аполониеви задачи;

последователно изчислените стойности за дължина на радиус на всяка от двете търсени окръжности се ползва за проверка на изведеното от теорема на Декарт равенство.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност,  аполониеви задачи, окръжности на Соди, окръжности на Лукас, окръжности на Malfatti, питагорови тройки. Докажете, че теоремата на Декарт не се отнася за произволен триъгълник, чиито върхове са центровете на трите окръжности.