теорема на Дезарг

Теоремата на Дезарг (Desargues's theorem) е една от основните теореми в проективната геометрия и гласи: два триъгълника са в перспектива аксиално, ако и само ако са в перспектива централно.

Два триъгълника ABC и abc са перспективни триъгълници, ако продълженията на съответните страни на двата триъгълника (AB,ab; BC,bc; AC, ac) се пресичат в точки от права (ос на перспектива). Правите, преминаващи през съответните върхове на триъгълниците (Aa,Bb,Cc), се пресичат в точка, наречена център на перспектива. Теоремата на Дезарг доказва твърдението, че истинността на първото условие е необходимо и достатъчно за истинност на второто.

Конфигурацията на Дезарг (конфигурация от десет точки и десет прави, с три точки на права и три прави на точка) е тясно свързана с теоремата на Дезарг. В дадена конфигурация всяка от десетте точки може да бъде избрана като център на перспектива и този избор определя кои шест точки ще бъдат върхове на триъгълниците и коя права ще бъде ос на перспектива.

Алгоритъмът за построителната задача нагледно доказателство за теорема на Дезарг съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки се построява референтния триъгълник ABC;

посочват се координатите на т.T - точка за център на перспектива;

в цикъл се построяват отсечки (AT, BT, CT) свързващи връх на референтния триъгълник с построения център на перспектива;

съобразно конкретния алгоритъм на избраната конфигурация на Дезарг се изчисляват координати за върхове на перспективния триъгълник abc, възможно е двата перспективни триъгълника да се вписани, еквидистанти, подобни;

в цикъл се построява поредната пресечна точка (A', B', C') на продълженията на страните за двойката перспективни триъгълници;

по вече изчислените координати пресечните точки се свързват в ос на перспектива - основно твърдение в разглежданата теорема на Дезарг.

Компютърно генерираните чертежи демонстрират идеи от теорема на Дезарг за триъгълници и център на перспектива.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: триъгълник, права, ос на перспектива, теорема на Менелай, теорема на Pappus.