теорема на Брахмагупта

Теорема на Брахмагупта (Brahmagupta's theorem) гласи: ако вписан в окръжност четириъгълник е с взаимно перпендикулярни диагонали, то перпендикулярът от пресечната точка на диагоналите към една от страните разполовява (разделя на две равни части) срещулежащата страна.

Алгоритъмът на построителната задача нагледно доказателство за теорема на Брахмагупта съдържа следните стъпки:

посочват се координати на 4 точки, за които няма комбинация от три колинеарни точки;

при необходимост се извършва корекция на координатите на последната въведена точка и се построява вписан четириъгълник, който е едновременно и ортодиагонален четириъгълник;

построява се описаната окололо четириъгълника окръжност;

построяват се двата диагонала AC, BD и се изчисляват координатите на тяхната пресечна точка - т.Е;

в цикъл се построява перпендикуляр от т.Е към избрана двойка срещулежащи страни - ЕНа, ЕНс;

в цикъл се построява пресечна точка на съответния перпендикуляр със срещулежащата страна - Мс, Ма;

проверява се дали тези точки са среда на съответната страна - основен извод в теоремата на Брахмагупта.

Чрез проекта за теорема на Брахмагупта можете да проверите известни свойствата на вписан четириъгълник.

Чрез познати алгоритми от изчислителната геометрия и изведените координати  на върховете проверете твърденията:

Ако т.E е пресечна точка на диагоналите, то е изпълнено равенството: EA*EC=EB*ED.

Ако вписаният четириъгълник е с дължини на страните a,b,c,d и на диагоналите e,f , то е изпълнено равенството: a*c+b*d = e*f.

Ако вписания четириъгълник е правоъгълник или квадрат, то отсечките свързващи средите на две срещулежащи страни се припокриват, но това твърдение не е вярно за вписан делтоид и отчасти за равнобедрен трапец.

За доказателство на основното твърдение в теорема на Брахмагупта се ползват подобни триъгълници и свойства на равнобедрен триъгълник. 

Проверете верността на формулата за лице на четириъгълник - формула на Бретшнайдер:

S = sqr((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d) - 0.5*a*b*c*d*(1+ cos(A+C))  А, С  два срещулежащи вътрешни ъгъла.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност, теорема на Brahmagupta-Mahavira,  теорема на Птоломей, теорема на Брокар, теорема на Бретшнайдер, теорема на Newton.