теорема за ъглополовяща

Теорема за ъглополовяща: ъглополовящата на вътрешен ъгъл в триъгълник дели срещулежащата му страна на отсечки, чиито дължини са в отношение равно на отношението на другите две страни.

за ъгъл CAB отношението е: BD/CD=AB/AC

Вярно е и обратното твърдение: ако D е точка от страната BC на триъгълника ABC и дължините на отсечките са в отношение BD/AB = CD/AC, то AD е ъглополовяща на ъгъл CAB.

Често използвани свойства на ъглополовяща:

В равнобедрен триъгълник ъглополовящата спусната от ъгъла срещу основата, съвпада и с височината, медианата и симетралата към основата.

В равностранен триъгълник ъглополовящите, спуснати от всеки от ъглите, са равни по дължина и съвпадат със съответните височини, медиани и симетрали.

В ромб и квадрат ъглополовящи са диагоналите.

Трите ъглополовящи в произволен триъгълник се пресичат в една точка, която е и център на вписаната окръжност в триъгълника.

Всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от бедрата.

В триъгълник със страни a, b и c и ъглополовяща Lc е в сила формулата:

Lc=sqr(a*b - (a*b*c²)/((a*b)²)

Алгоритъмът на построителната задача за проверка на отношенията в теорема за ъглополовяща съдържа следните стъпки

по въведени координати за три не колинеарни точки се построява референтния триъгълник ABC;

в цикъл, чрез синусова теорема, последователно се изчислява размер на вътрешните ъгли в триъгълника;

в цикъл се построява права (ъглополовяща), сключваща ъгъл с прилежащата страна равен на половината от изчисления;

в цикъл се изчислява пета на всяка ъглополовяща - пресечна точка на правата със срещулежаща страна;

изчисляват се дължините на всяка отсечка участваща в изведеното отношение - чрез алгоритъм разстояние между две точки;

извършва се проверка на изведеното в теорема за ъглополовящата отношение между страните и отсечките.

Задачата за ъглополовяща в правоъгълен триъгълник отразява връзката между две теореми: теорема за ъглополовяща и теорема на Питагор.

В правоъгълен триъгълник ABC е построена ъглополовяща CL, която дели хипотенузата на две отсечки с дължини съответно m и n, считано от връх А. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

Лице на правоъгълен триъгълник е полупроизведението от дължините на двата му катета S = AC*BC/2

1) от теорема за ъглополовяща: AC/BC = m/n  или  AC = (m/n)*BC

2) дължината на хипотенузата AB = m + n

3) от теорема на Питагор: AC² + BC² = AB² 

Замества се уравнение (1) в уравнение (3) и се изчислява BC.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: права, теорема на Стюарт, косинусова теорема, синусова теорема.