синусова теорема

Чрез синусова теорема се извежда отношението между дължина на страна и радиус на описана окръжност около триъгълник. Формулата най-често се представя като: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R. 

За правоъгълен триъгълник едно от представените равенства се извежда в теорема на Талес - описана окръжност.

Доказателството на синусова теорема чрез използване на помощен правоъгълен триъгълник CHB имащ остър ъгъл CHB равен на едни от ъглите BAC в референтния триъгълник - рамената на ъглите отсичат еднаква дъга от окръжността.

CH = 2*R;

BC = CH*sin(CHB);

a = 2*R*sin(α);

Равенства подобни на предходното могат да се изведат за другите две страни чрез допълнителни правоъгълни триъгълници.

Доказателството на синусова теорема чрез използване на помощен триъгълник имащ централен ъгъл равен на удвоената стойност на едни от ъглите в референтния триъгълник.

Използват се: тригонометричните равенства sin²(γ) + cos²(γ) = 1, както и cos(2γ) =  cos²(γ) - sin²(γ).

От косинусова теорема:  c² = R² + R² - 2*R*R*cos(γ);

c² =2*R²*(1 - cos²(γ) - sin²(γ);

c² =2*R²*(sin²(γ) + cos²(γ) - cos²(γ) + sin²(γ);

c² =4*R²*sin²(γ);

c = 2*R*sin(γ);

Равенства подобни на предходното могат да се изведат за другите две страни чрез косинусова теорема.

Доказателството на синусова теорема чрез използване на чрез лице на триъгълник и радиус на описана окръжност:

лице на триъгълник по страни и радиус на описана окръжност S = a*b*c / (4*R);

лице на триъгълник по дължини на две страни и ъгъл между тях S = 0.5*b*c*sin(α) = 0.5*a*c*sin(β) =  0.5*a*b*sin(γ)

умножаваме с 2/(a*b*c) двете страни;

4*S/(a*b*c) =2*sin(α)/a = 2*sin(β)/b = 2*sin(γ)/c;

1/R = 2*sin(α)/a = 2*sin(β)/b = 2*sin(γ)/c;

от свойство на пропорция може да се ползват реципрочните стойности:

a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2*R;

В задачите за изчисляване лице на триъгълник се ползват и формулите:

S = 0.5*ha*hb/sin(C);

S = 2*sin(A)*sin(B)*sin(C)*R²;

S = 0.5*b*c*sin(A);

S = 0.5*a*b*sin(A+B);

S = 0.5*sin(B)*sin(C)*a²/sin(B+C);

S = 2*sin(A)*sin(B)*sin(C)*R²;

формули на Mollweide:

Всяка от формулите на Mollweide ползва: тригонометрични функции, дължини на трите страни (a, b, c) в референтния триъгълник, както и срещулежащите им ъгли (α, β, γ).

(a+b)/c = cos((α-β)/2)/sin(γ/2);

(a-b)/c = sin((α-β)/2)/cos(γ/2);

Чрез примерния проект се посочват координати за върхове на триъгълник.

Автоматично се построява триъгълника и описаната окръжност.

За връх на помощния триъгълник (на чертежа в червено) се използва последния посочен връх на триъгълника.

Извеждат се данни за:

дължини на страни;

стойности за синус от вътрешните ъгли;

радиус на описана окръжност.

Дава се възможност за практическа проверка на изведените равенства в синусовата теорема.

Примерни задачи за синусова теорема в триъгълник.

Дадени са дължините на 2 страни и срещулежащия ъгъл срещу едната от тях. Да се намери радиуса на описаната окръжност.

Дадени са дължините на 2 страни и сключения между тях ъгъл. Да се намерят стойностите на останалите два ъгъла. Приложете косинусова теорема и изчислете третата страна. Чрез тригонометрични функции  изчислете радиуса на описаната окръжност.

Дадени са дължините на 2 страни и сключения между тях ъгъл. Да се изчисли лице на триъгълник. Възможно е да използвате директно формулата:   2*S = b*c*sin(α) = a*c*sin(β) =  a*b*sin(γ) или подобна използвайки описаните в тригонометрични функции.

Дадени са дължините на 2 страни и височината към третата. Да се намери дължината на радиуса на описаната окръжност. Указание от правоъгълния триъгълник с хипотенуза едната страна и катет височината изчислете синус на срещулежащия ъгъл на втората страна от триъгълника. Чрез синусова теорема изчислете радиуса на описаната окръжност.

Дадени са дължина на страна и прилежащите ѝ ъгли. Да се изчислят дължините на другите две страни. Указание: Изчислете срещулежащия ъгъл на известната страна. Чрез синусова теорема изчислете радиуса.

Дадени са дължините на 3 страни. Да се намерят стойностите на ъглите. Указание използвайте формула на Херон за изчисляване S лице на триъгълника и формулата R=a*b*c/(4*S) за радиус на описаната окръжност. Друг вариант чрез косинусова теорема α = arccos((b² + c² - a²)/(2*b*c)).

Проверете валидността на формулата: Извършете проверка за изчислителна устойчивост при голяма стойност на отношението: най-голям/най-малък вътрешен ъгъл.

Проверете при какви условия се изпълнява верността на твърдението: ако стойностите за дължини на страни образуват аритметична прогресия, то стойностите на функцията синус за ъглите също образуват аритметична прогресия. Друго твърдение: срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл, отново чрез тригонометрични функции.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: косинусова теорема,  тангенсова теорема,  окръжност, теорема на Питагор, тригонометрични функции.