обобщена теорема на Талес

Обобщената теорема на Талес (Intercept_theorem) доказва равенство при отношенията на отсечки, създадени от пресичане рамената на ъгъл с две успоредни прави - на чертежа правите f и g. Теоремата е еквивалентна на теоремата за отношения в подобни триъгълници и е пряко свързана с център на хомотетия.

Разглеждат се два случая, в зависимост позицията на пресечната точка P относно двойката успоредни прави:

пресечната точка P не лежи между двойката успоредни прави:  PA : PB = PC : PD = AC : BD;

пресечната точка P лежи между успоредните прави:  PA : PB = PC : PD = AC : BD;

Ако има повече от две линии, пресичащи се в обща точка, то съотношението на отсечките от едната права, образувани от двойката успоредни прави е равно на отношенията на съответните отсечки от другите пресичащи се прави.

Следствия на обобщената теорема на Талес може да се използват за определяне на разстояние, което не може да бъде измерено директно, като: ширината на река/езеро, височина на хълм/висока сграда и други подобни. Съществуват писмени документи, че Талес е открил как да изчисли височината на пирамидите (Плиний).

Друго практическо приложение е разделяне на отсечка в дадено съотношение - средно геометрични отсечки.

Алгоритъмът на построителната задача обобщена теорема на Талес съдържа следните стъпки:

посочват се 3 не колинеарни точки P, A, C за върхове на триъгълник, където A, C са инцидентни с правата f;

отделна точка за позиция на втората успоредна права g. 

Първата от двойката успоредни прави е срещулежащата страна на триъгълника AC срещу първата въведена точка т.P. 

Като се използва подагоритъм за принадлежност на точка към окръжност и следствия от теорема на Стюарт се определя дали точката принадлежи на триъгълника или лежи извън него. Ако е вторият вариант се проверяват дължините на отсечките между точката и първия връх на триъгълника спрямо друг негов връх и се установява дали пресечната точка е между двойката успоредни прави или не. През последната въведена точка се построява права успоредна на страна от триъгълника. Построяват се продължения на другите две страни. 

Извършва се проверка за изведените равенствата в обобщената теорема на Талес.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за:  теорема на Талес - описана окръжност; синусова теорема, теорема на Стюарт, тригонометрични функции, център на хомотетия, средно геометрични отсечки.