косинусова теорема

Чрез косинусова теорема се доказва равенството: квадратът на страна, в произволен триъгълник, е равен на сумата от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на същите страни и косинус от ъгъла, заключен между тях. При извеждане на доказателството за косинусова теорема се използва теорема на Питагор - използва се помощен правоъгълен триъгълник имащ остър ъгъл едни от ъглите на референтния  триъгълник. В частния случай правоъгълен триъгълник косинусовата теорема се редуцира до теорема на Питагор.

В произволен триъгълник от равнината е построена височина CH към една от страните. За правоъгълния триъгълник AHC следва: CH = b*cos(α), както и BH = c -  b*cos(α). От теорема на Питагор следва, че CH² = b² - (b*cos(α))².

От теорема на Питагор за правоъгълния триъгълник BHC следва CH² = BC² - BH² = a² - (c -  b*cos(α))².

От двете равенства:

a² - (c -  b*cos(α))² =  b² - (b*cos(α))²;

a² - c² + 2*b*c*cos(α) -  (b*cos(α))²  =  b² - (b*cos(α))²;

a² =  b² +  c² - 2*b*c*cos(α);

Чрез примерния проект се посочват три не колинеарни точки A, B, C за върхове на триъгълник. Програмно се изчертава височината Hc към страната AB и се извеждат: дължините на страните и косинус от ъгъла срещу първата страна. Ъгълът с връх първата въведена точка се изчислява от уравненията на двете му рамена. Дължината на срещулежащата му страна се изчислява по два начина: като разстояние между две точки и чрез косинусова теорема. Извеждат се и се сравняват изчислените резултати.

Примерни задачи за косинусова теорема в триъгълник:

Дадени са дължините на 3 страни, търси се един от вътрешните ъгли - същото условие има друга задача, изискваща познаване на синусова теорема.

Дадени са дължини на две страни a, b и сключения между тях ъгъл. Търси се срещулежащата му страна.

Дадени са радиусите на две пресичащи се окръжности и сключения между тях ъгъл. Да се намери дължината на междуцентровото им разстояние.

Дадени са дължини на две страни a, b и прилежащия ъгъл към едната от тях. Търси се дължината на третата страна. Указание използвайте синусова теорема и изчислете радиуса на описаната окръжност около триъгълника.

В задачите за изчисляване лице на триъгълник се прилагат и формулите:

a = b*cos(γ) + c*cos(β)

формули на Mollweide

Всяка от формулите на Mollweide ползва: тригонометрични функции, дължини на трите страни (a, b, c) в референтния триъгълник, както и срещулежащите им ъгли (α, β, γ).

(a+b)/c = cos((α-β)/2)/sin(γ/2);

(a-b)/c = sin((α-β)/2)/cos(γ/2);

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: тригонометрични функции, теорема на Бретшнайдер (Bretschneider's theorem) - косинусова теорема за четириъгълник, теорема на Питагор, синусова теорема.